Question

7．如图1，△ABC中，∠C=90°，AB=20cm，BC=12cm，若动点P从点C开始，沿着C→A→B的路径运动，且速度为每秒1cm，设点P运动的时间为t秒．

（1）当t=5秒时，求△ABP的周长．
（2）当t为几秒时，PC=PB；
（3）当t为几秒时，BP平分∠ABC．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理求得AC=16cm，根据运动的速度和时间求得CP=5cm，AP=11cm，最后根据勾股定理得到BP=13cm，即可得到△ABP的周长为：AP+PB+AB=44cm；
（2）根据BP=CP，则∠PCB=∠B，进而得出PA=PB=10cm，故点P的运动路程=AC+AP=26cm，最后根据t=26÷1=26s，得到当t为26秒时，PC=PB；
（3）过点P作PD⊥AB于点D，判定Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），得到BD=BC=12cm，AD=20-12=8cm，再设PC=xcm，则PD=xcm，AP=（16-x）cm，在Rt△APD中，根据勾股定理得到PD²+AD²=AP²，即x²+8²=（16-x）²，解得x=6，即可得到当t=6秒时，BP平分∠ABC．

解答 解：（1）如图1，∵∠C=90°，AB=20cm，BC=12cm，
∴AC=16cm，
∵点P的速度为每秒1cm，
∴出发5秒时，CP=5cm，AP=11cm，
∵∠C=90°，
∴Rt△BCP中，BP=13cm，
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=44cm；

（2）当点P在AC边上时，PB＞PC；
如图，当点P在AB边上时，
若BP=CP，则∠PCB=∠B，
∵∠ACP+∠PCB=90°，∠B+∠A=90°，
∴∠ACP=∠A，
∴PA=PC，
∴PA=PB=10cm，
∴点P的运动路程=AC+AP=26cm，
∴t=26÷1=26s，
∴当t为26秒时，PC=PB；

（3）如图，过点P作PD⊥AB于点D，
∵BP平分∠ABC，
∴PD=PC，
在Rt△BPD和Rt△BPC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=BP}\\{PC=PD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），
∴BD=BC=12cm，
∴AD=20-12=8cm，
设PC=xcm，则PD=xcm，AP=（16-x）cm，
在Rt△APD中，PD²+AD²=AP²，
即x²+8²=（16-x）²，
解得x=6，
∴当t=6秒时，BP平分∠ABC．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质的综合应用，解决第（3）问的关键是作辅助线构造直角三角形，运用勾股定理列出方程进行求解．解题时注意方程思想的运用．