Question

①如图1，在矩形ABCD中，E、F为BC上两点，且BE=CF，求证：∠BAF=∠CDE；
②如图2，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A．
（1）求tan∠BOA的值；
（2）将△AOB绕原点顺时针方向旋转90°后记作△A′OB′；
①画出旋转后的图形并写出A′、B′的坐标；
②求在旋转过程中线段OA扫过的面积．

Answer 1

分析：①根据矩形的性质求出AB=CD，∠B=∠C=90°，再求出BF=CE，然后根据“SAS”证明△ABF和△DCE全等，根据全等三角形对应角相等即可证明；
②（1）根据点B的坐标，利用∠BOA的正切值等于对边比邻边列式进行计算即可得解；
（2）根据网格结构找出点A、B绕点O顺时针旋转90°后的对应点A′、B′的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A′、B′的坐标；然后根据扇形面积公式列式进行计算即可求出OA扫过的面积．

解答：①证明：在矩形ABCD中，AB=CD，∠B=∠C=90°，
∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE，
在△ABF和△DCE中，
∵

AB=DC ∠B=∠C BF=CE

，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠BAF=∠CDE；

②解：（1）∵点B（4，2），
∴tan∠BOA=

2

4

=

1

2

；

（2）①如图，△A′OB′即为所求作的图形；
点A′（0，-4），B′（2，-4）；
②线段OA扫过的面积=

90•π•42

360

=4π．

点评：本题考查了利用旋转变换作图，全等三角形的判定与性质，锐角三角形函数，扇形的面积计算，比较简单，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．