Question

如图所示，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC=∠A．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）若OC∥AD，OC交BD于点E，BD=6，CE=4，求AD的长．

Answer 1

分析：（1）要证BC与⊙O相切；只需证明OB⊥BC即可，根据角之间的互余关系易得证明；
（2）根据平行线的性质可得OC⊥BD，进而可得△OBE∽△BCE，可得出比例关系式，

OE

BE

=

BE

EC

代入数据即可得到答案．

解答：（1）证明：∵AB是直径，
∴∠D=90°，AD⊥BD．（1分）
∴∠A+∠ABD=90°．（2分）
又∵∠DBC=∠A，
∴∠DBC+∠ABD=90°，
即∠ABC=90°．
∴OB⊥BC．（3分）
∵OB是半径，
∴BC与⊙O相切．（4分）

（2）解：∵OC∥AD，∠D=90°，
∴∠OEB=∠D=90°．
∴OC⊥BD．（5分）
∴BE=DE=

1

2

BD=3．（6分）
∵BE⊥OC，∠OBC=90°，
∴△OBE∽△BCE．（7分）
∴

OE

BE

=

BE

EC

即

OE

3

=

3

4

，
∴OE=

9

4

．（9分）
∵OA=OB，DE=EB，
∴AD=2EO=

9

2

．（10分）

点评：本题考查切线的判定及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．