【题目】某建筑商承接一条道路的铺设工程,需购置一批大小相同的花岗石板,它的长为160cm将这批花岗石板按如图①所示的两种方案进行切割(不计损耗,余料不再利用),切割后的M型和N型小花岗石板可拼成如图②所示的正方形(该图案不重叠无缝隙),图③的道路由若干个图②的正方形拼接而成(该图案不重叠无缝隙).
(1)M型小花岗石板的长AB= cm,宽AC= cm.
(2)现有110块花岗石板切割后恰好拼成若干个图②所示的正方形,并将这些正方形铺设成图③的道路,能铺设多少米?
(3)现有a张花岗石板,用方案甲切割;b张花岗石板,用方案乙切割,同时从外地材料公司调来M型小花岗石板64块.用完现有的M型和N型小花岗石板恰好能完整拼成如图③的道路图案,若61≤a≤69,则道路最多能铺设多少米?
【答案】(1)80,20;(2)共铺设100米;(3)道路最多能铺设97米.
【解析】
(1)由图①方案乙可求得AB的长,由方案甲可求得AC的长;
(2)设x块花岗石板用方案甲切割,(110﹣x)块花岗石板用方案乙切割,根据图①,图②可得方程[3x+4(110﹣x)]:[4x+2(110﹣x)]=4:3,求解方程得到x的值,再根据图③中M型石板的数量求解即可;
(3)由题意M型小花岗石板有:(3a+4b+64)块,N型小花岗石板有:(4a+2b)块,整理可得a=b+48,根据题意可知3a+4b+64是4的倍数,则当a=68时,道路铺设最长,然后同(2)即可求得答案.
(1)由题意AB=160÷2=80(cm),AC=80÷4=20(cm),
故答案为80,20;
(2)设x块花岗石板用方案甲切割,(110﹣x)块花岗石板用方案乙切割,
由题意:[3x+4(110﹣x)]:[4x+2(110﹣x)]=4:3,
解得x=40,
∴共有3×40+4(110﹣40)=400块M型小花岗石板,
400÷4=100,100×(80+20)=10000(cm)=100(m)
答:共铺设100米;
(3)由题意M型小花岗石板有:(3a+4b+64)块,N型小花岗石板有:(4a+2b)块,
由题意:(3a+4b+64):(4a+2b)=4:3,
整理得:a=b+48,
∵61≤a≤69,用完现有的M型和N型小花岗石板恰好能完整拼成如图③的道路图案,
∴3a+4b+64是4的倍数,
当a=68时,道路铺设最长,
∴a=68,b=20,
∴共有3×68+4×20+64=348,
348÷4=87,
87×100=9700(cm)=97(m),
答:道路最多能铺设97米.
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【题目】已等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°.点D从点B出发沿射线BC移动,以AD为腰作等腰Rt△ADE,∠DAE=90°.连接CE.
(1)如图,求证:△ACE≌△ABD;
(2)点D运动时,∠BCE的度数是否发生变化?若不变化,求它的度数;若变化,说明理由;
(3)若AC=,当CD=1时,请直接写出DE的长.
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【题目】已知实数a、b、c满足a+b=ab=c,有下列结论:
①若c≠0,则;②若a=3,则b+c=9;
③若a=b=c,则abc=0;④若a、b、c中只有两个数相等,则a+b+c=8.
其中正确的是 (把所有正确结论的序号都选上).
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【题目】如图,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转至△AB′C′(B与B′,C与C′分别是对应顶点),使AB′⊥BC,B′C′分别交AC,BC于点D,E,已知AB=AC=5,BC=6,则DE的长为_____.
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【题目】如图,在△ABC和△DCB中,∠BAC=∠CDB=90°,AB=DC,AC与BD交于点O.
(1)求证:△ABC≌△DCB.
(2)当∠DBC=30°,BC=6时,求BO的长.
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【题目】如图,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O.
(1)求证:△AEC≌△BED;
(2)若∠1=42°,求∠BDE的度数.
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【题目】如图,在△ABC和△DCB中,∠BAC=∠CDB=90°,AB=DC,AC与BD交于点O.
(1)求证:△ABC≌△DCB.
(2)当∠DBC=30°,BC=6时,求BO的长.
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【题目】如图,直线y=kx-1与x轴、y轴分别交于B、C两点,OB:OC=.
(1)求B点的坐标和k的值.
(2)若点A(x,y)是第一象限内的直线y=kx-1上的一个动点,当点A运动过程中,试写出△AOB的面积S与x的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,当点A运动到什么位置时,△AOB的面积是.
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