Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=

4

x

（x＞0）图象上的任意一点，过P作PH⊥x轴于H，在x轴正半轴上取一点A满足OA=3OH；直线AP交y轴于点B；
（1）求△AOB的面积；
（2）当点P在反比例函数上从左往右运动时，△AOB的面积

保持不变

（填“改变”或“保持不变”）
（3）Q是反比例函数y=

4

x

（x＞0）图象上异于点P的另一点，过Q作作QH′⊥x轴于H′，在x轴正半轴上取一点M满足OM=3OH′；直线MQ交y轴于点N，连接AN、MB．求证：AN∥MB．

Answer 1

分析：（1）先求出△POH的面积，继而得出△APH的面积，根据△APH∽△ABO，可得出△AOB的面积；
（2）△OPH的面积始终不变，则△APH的面积就始终不变，继而得出△AOB的面积保持不变；
（3）根据（1）的求解思路可得S_△MON=S_△AOB=9，继而得出OA•OB=OM•ON，转化为

OA

OM

=

ON

OB

，即可判断出AN∥MB．

解答：解：（1）△AOB的面积为9，
由k的几何意义可得，S_△POH=

1

2

|k|=2，
∵OA=3OH，
∴AH=2OH，
∴S_△APH=2S_△POH=4，
根据题意易得由△APH∽△AOB，
故可得

S△APH

S△ABO

=（

AH

AO

）²=（

2

3

）²=

4

9

，
解得：S_△AOB=9．
（2）∵△OPH的面积始终不变，
∴△APH的面积就始终不变，
故△AOB的面积保持不变．
不变．
（3）

根据（1）的思路可得S_△MON=S_△AOB=9，
则可得OA•OB=OM•ON，
即

OA

OM

=

ON

OB

，
故可得AN∥MB．

点评：本题属于反比例函数的综合题，涉及了三角形的面积、平行线的判定及相似三角形的判定与性质，综合性较强，解答本题的关键是熟悉各个知识点，融会贯通．