Question

【题目】如图1，O为线段AB上一点，AB=6，OC为射线，且∠BOC=60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．

（1）若AO=4，
①当t=1秒时，OP= ， S△ABP=；
②当△ABP是直角三角形时，求t的值；
（2）如图2，若点O为AB中点，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求AQBP的值．

Answer 1

【答案】
（1）2,3 ,解：②当△ABP是直角三角形时,a、若∠A=90°．∵∠BOC=60°且∠BOC＞∠A,∴∠A≠90°,故此种情形不存在；b、若∠B=90°,如答图2所示：∵∠BOC=60°,∴∠BPO=30°,∴OP=2OB=4,又OP=2t,∴t=2；c、若∠APB=90°,如答图3所示：过点P作PD⊥AB于点D,则OD=OP?sin30°=t,PD=OP?sin60°= t,∴AD=OA+OD=4+t,BD=OB﹣OD=2﹣t．在Rt△ABP中,由勾股定理得：PA2+PB2=AB2∴（AD2+PD2）+（BD2+PD2）=AB2,即[（4+t）2+（ t）2]+[（2﹣t）2+（ t）2]=62,解方程得：t= 或t= （负值舍去）,∴t= ．综上所述,当△ABP是直角三角形时,t=2或t= ．
（2）解：如图中，作OE∥AP，交BP于点E．

∵AP=AB，

∴∠APB=∠B，

∴∠OEB=∠APB=∠B，

∵AQ∥BP，

∴∠QAB+∠B=180°．

又∵∠OEP+∠OEB=180°，

∴∠OEP=∠QAB，

又∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP，

∵∠B=∠QOP，

∴∠AOQ=∠OPE，

∴△QAO∽△OEP，

∴ = ，即AQEP=EOAO，

由三角形中位线定理得OE=3，

∴AQEP=9，

∴AQBP=AQ2EP=2AQEP=18．

【解析】解：（1）①当t=1秒时，OP=2t=2×1=2．

如答图1，过点P作PD⊥AB于点D．

在Rt△POD中，PD=OPsin60°=2× = ，

∴S△ABP= ABPD= ×（4+2）× =3 ．

所以答案是2，3 ．

【考点精析】关于本题考查的等腰三角形的性质和勾股定理的概念，需要了解等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正确答案．