Question

2．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ACB=90°，OC、OB的长分别是一元二次方程x²-6x+8=0的两个根，且OC＜OB．
（1）求点A的坐标；
（2）D是线段AB上的一个动点（点D不与点A，B重合），过点D的直线l与y轴平行，直线l交边AC或边BC于点P，设点D的横坐标为t，线段DP的长为d，求d关于t的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，当d=$\frac{1}{2}$时，请你直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由一元二次方程可求得OC、OB的长，利用△AOC∽△COB可求得OA的长，则可求得A点坐标；
（2）由A、B、C的坐标可分别求得直线AB、AC的解析式，当点D在线段OB上时，则点P在直线BC上，则可表示出P点坐标，从而可表示出PD的长；当点D在线段OA上时，则点P在直线AC上，可表示出点P的坐标，从而可表示出PD的长，即可求得d关于t的函数解析式；
（3）在（2）中所求的函数关系式中分别令d=$\frac{1}{2}$，分别求得相应的t的值，即可求得P点坐标．

解答 解：
（1）解方程x²-6x+8=0可得x=2或x=4，
∵OC、OB的长分别是一元二次方程x²-6x+8=0的两个根，且OC＜OB，
∴OC=2，OB=4，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠CAO=∠BCO，且∠AOC=∠BOC，
∴△AOC∽△COB，
∴$\frac{AO}{OC}$=$\frac{OC}{OB}$，即$\frac{AO}{2}$=$\frac{2}{4}$，解得AO=1，
∴A（-1，0）；
（2）由（1）可知C（0，2），B（4，0），A（-1，0），
设直线AC解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{k=2}\end{array}\right.$，
∴直线AC解析式为y=2x+2，
同理可求得直线BC解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
当点D在线段OA上时，即-1＜t≤0时，则点P在直线AC上，
∴P点坐标为（t，2t+2），
∴d=2t+2；
当点D在线段OB上时，即0＜t＜4时，则点P在直线BC上，
∴P点坐标为（t，-$\frac{1}{2}$t+2），
∴d=-$\frac{1}{2}$t+2；
综上可知d关于t的函数关系式为d=$\left\{\begin{array}{l}{2t+2（-1＜t≤0）}\\{-\frac{1}{2}t+2（0＜t＜4）}\end{array}\right.$；
（3）在d=2t+2中，令d=$\frac{1}{2}$，可得2t+2=$\frac{1}{2}$，解得t=-$\frac{3}{4}$，
∴P（-$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{2}$）；
在d=-$\frac{1}{2}$t+2中，令d=$\frac{1}{2}$，可得-$\frac{1}{2}$t+2=$\frac{1}{2}$，解得t=3，
∴P（3，$\frac{1}{2}$）；
综上可知当d=$\frac{1}{2}$时，P点坐标为（-$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{2}$）或（3，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题为三角形和一次函数的综合应用，涉及一元二次方程、相似三角形的判定和性质、待定系数法、函数图象上点的坐标及分类讨论思想等知识．在（1）中利用相似三角形的性质求得OA的长是解题的关键，在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）中代入函数解析式求t即可，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．