分析 (1)过A作AM⊥BC于M,EN⊥BC于N,连接CE,根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45°,根据正方形的性质得到AD=DE,∠ADE=90°,由全等三角形的质得到EN=DM,AM=DN,推出△CEN是等腰直角三角形,即可得到结论;
(2)过E作EH⊥CE交CF的延长线于H,根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45°,根据正方形的性质得到AD=DE,∠ADE=90根据余角的性质得到∠BAD=∠CAF,根据全等三角形的性质得到CF=BD,∠ACF=∠ABD=45°,求得CH=$\sqrt{2}$CE,∠FED=∠HEC=90°,∴∠HEF=∠CED,根据全等三角形的性质得到HF=CD,等量代换即可得到结论;
(3)根据等腰直角三角形的性质得到AM=2,根据勾股定理得到DM=$\sqrt{A{D}^{2}-A{M}^{2}}$=2$\sqrt{3}$,于是得到结论.
解答 (1)证明:如图,过A作AM⊥BC于M,EN⊥BC于N,连接CE,
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∵四边形ADEF是正方形,
∴AD=DE,∠ADE=90°,
∵∠ADM+∠EDN=∠EDN+∠DEN=90°,
∴∠ADM=∠DEN,
在△ADM和△DEN中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMD=∠END}\\{∠ADM=∠DEN}\\{AD=DE}\end{array}\right.$,
∴△ADM≌△DEN,
∴EN=DM,AM=DN,
∵AM=CM,
∴CM+CD=DN+CD,
∴CN=EN,
∴△CEN是等腰直角三角形,
∴∠ECN=45°,
∴∠ACE=180°-∠ACB-∠ECN=90°,
∴AC⊥CE;
(2)证明:如图,过E作EH⊥CE交CF的延长线于H,
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∵四边形ADEF是正方形,
∴AD=AF,∠DAF=90°,
∵∠BAD+∠CAD=∠BAC=90°,
∠CAF+∠CAD=∠DAF=90°,
∴∠BAD=∠CAF,
在△ABD和△ACF中,
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$,
∴△ABD≌△ACF(SAS),
∴CF=BD,∠ACF=∠ABD=45°,
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°,
∴∠FCE=45°,
∴CH=$\sqrt{2}$CE,
∵∠FED=∠HEC=90°,∴∠HEF=∠CED,
在△HEF与△CED中,$\left\{\begin{array}{l}{HE=EC}\\{∠HEF=∠CED}\\{EF=DE}\end{array}\right.$,
∴△HEF≌△CDE,
∴HF=CD,
∴2DB-BC=BD+CD=CF+HF=CH=$\sqrt{2}$EC,
∴2DB-BC=$\sqrt{2}$EC;
(3)∵AB=AC=2$\sqrt{2}$,
∴AM=2,
∵AD=AF=4,
∴DM=$\sqrt{A{D}^{2}-A{M}^{2}}$=2$\sqrt{3}$,
∴EN=CN=2$\sqrt{3}$,CF=BD=BM+DM=2+2$\sqrt{3}$,
∴S△EFC=S四边形CNEF-S△ENC=$\frac{1}{2}$(2$\sqrt{3}$+2+2$\sqrt{3}$)×$2\sqrt{3}$=12+2$\sqrt{3}$.
故答案为:12+2$\sqrt{3}$.
点评 本题考查了正方形的性质,等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,三角形面积的计算,正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{6}$ | B. | $\frac{1}{4}$ | C. | $\frac{1}{3}$ | D. | $\frac{1}{2}$ |
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