Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，O为直角边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的圆恰好与斜边AB相切于点D，与BC交于另一点E．若BE=1，BD=3，则图中阴影部分的面积为

 

．

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：

分析：首先设⊙O的半径长为x，由AB是⊙O的切线，可得x²+3²=（x+1）²，则可求得圆的半径长，又由切线长定理，可求得AD=AC，继而设设AC=y，可得（y+3）²=y²+9²，即可求得AC的长，然后由S_阴影=S_△ABC-S_半圆求得答案．

解答：解：∵AB是⊙O的切线，
∴OD⊥AB，
设⊙O的半径长为x，
∴OB=OE+BE=x+1，
∵BD=3，
∴x²+3²=（x+1）²，
解得：x=4，
∴⊙O的半径为4，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AC是⊙O的切线，
∴AC=AD，
设AC=y，
∴BC=8+1=9，AB=AD+BD=y+3，
∵（y+3）²=y²+9²，
解得：y=12，
∴S_阴影=S_△ABC-S_半圆=

1

2

×12×9-8π=54-8π．
故答案为：54-8π．

点评：此题考查了切线的性质、切线长定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．