Question

16．记A=$\sum_{k=1}^{2013}$$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}+\frac{1}{（k+1）^{2}}}$，再记[A]表示不超过A的最大整数，则[A]（　　）

• A． 2010
• B． 2011
• C． 2012
• D． 2013

Answer 1

分析 先通分得到1+$\frac{1}{{k}^{2}}$+$\frac{1}{（k+1）^{2}}$=$\frac{{k}^{2}（k+1）^{2}+（k+1）^{2}+{k}^{2}}{{k}^{2}（k+1）^{2}}$，再把分子变形得到完全平方公式，所以$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}+\frac{1}{（k+1）^{2}}}$=$\frac{k（k+1）+1}{k（k+1）}$，变形得：1+$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{k+1}$，
则A=1+$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$+1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+1+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+1+$\frac{1}{2013}$-$\frac{1}{2014}$，计算得到2013$\frac{2013}{2014}$，然后根据[x]表示不超过x的最大整数求解．

解答 解：∵1+$\frac{1}{{k}^{2}}$+$\frac{1}{（k+1）^{2}}$=$\frac{{k}^{2}（k+1）^{2}+（k+1）^{2}+{k}^{2}}{{k}^{2}（k+1）^{2}}$
=$\frac{[k（k+1）]^{2}+{k}^{2}+2k+1+{k}^{2}}{[k（k+1）]^{2}}$
=$\frac{[k（k+1）]^{2}+2k（k+1）+1}{[k（k+1）]^{2}}$
=$\frac{[k（k+1）+1]^{2}}{[k（k+1）]^{2}}$，
∴$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}+\frac{1}{（k+1）^{2}}}$=$\frac{k（k+1）+1}{k（k+1）}$=1+$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{k+1}$，
∴A=1+$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$+1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+1+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+1+$\frac{1}{2013}$-$\frac{1}{2014}$=2013$\frac{2013}{2014}$，
∴[A]=[2013$\frac{2013}{2014}$]=2013．
故选：D．

点评 此题主要考查了取整计算，利用完全平方公式以及分式的加减运算法则将原式变形得出$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}+\frac{1}{（k+1）^{2}}}$=1+$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{k+1}$是解题关键．