Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，，，分别以，为边作矩形，直线交于点，交直线于点．

（1）求直线的解析式及点的坐标．

（2）如图2，为直线上一动点，点，点为直线上两动点（在上，在下），满足，当最大时，求的最小值，并求出此时点的坐标．

（3）如图3，将绕着点顺时针旋转，记旋转后的三角形为，线段所在的直线交直线于点（不与、重合），交轴于点，在平面内是否存在一点，使得以四点形成的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说出理由．

Answer 1

【答案】（1），H(,)；（2）；（3）存在，Q(,)

【解析】

（1）如图1中，作HK⊥OA于K．求出A，C两点坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式，解直角三角形求出HK，KO即可求出点H的坐标．

（2）由题意|PC-PB|≤BC，推出当点P在CB的延长线上时，|PC-PB|的值最大，此时P′（3，），作P′G∥AC，使得P′G=EF=，此时，作G关于直线AC的对称点M，连接DM交AC于E，GM交AC于，此时P′F+EF+DE的值最小．求出直线DM，AC的解析式，构建方程组即可解决问题．

（3）如图3中，当NC=NM时，可得菱形MNCQ．解直角三角形求出ON，求出菱形的边长即可解决问题．

（1）如图1中，作HK⊥OA于K

∵OA=，OC=OA=3，

∴A(0，)，B(3，0)，

设直线AC的解析式为y=kx+b，则有

解得

∴直线AC的解析式为

∵tan∠OAC=

∴∠OAC=

∵OD⊥AC于H，

∴∠AHO=

∴∠AOH=

∴OH=OAcos=

∵HK⊥OA，

∴HK=OH=，OK=HK=

∴H(，)．

故答案为：，H(，)

（2）如图2中，

∵|PCPB|BC，

∴当点P在CB的延长线上时，|PCPB|的值最大，此时P′(3，)，

作P′G∥AC，使得P′G=EF=，此时

作G关于直线AC的对称点M，连接DM交AC于E，GM交AC于，此时P′F+EF+DE的值最小．

∵GJ=JM，设M(m，n)，

则有

解得

∴M(0，)，∵D(1，)，

∴直线DM的解析式为

由

解得

∴

故答案为：

（3）如图3中，

当NC=NM时，可得菱形MNCQ

∵NC=NM，

∴∠NCM=∠NMC=

∴∠ONM=∠NCM+∠NMC=

∵OH′=OH=，

∴ON=OH′cos=，

∴CN=CQ=HN=HQ=3，

∴Q(，)

故答案：存在，Q(，)