Question

19．已知，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于点B，点A（a，b）满足$\sqrt{a-2b}$+|b-2|=0，平移线段AB使点A与原点重合，点B的对应点为点C．
（1）则a=4，b=2，点C的坐标为（0，-2）；
（2）如图1，点D（m，n）在线段BC上，求m，n满足的关系式；
（3）如图2，E是线段OB上一动点，以OB为边作∠BOG=∠AOB，交BC于点G，连CE交OG于点F，若点E在线段OB上运动的过程中，$\frac{∠OFC+∠FCG}{∠OEC}$的值是否发生变化？若变化请说明理由，若不变，请求出其值．

Answer 1

分析 （1）利用非负数的性质即可解决问题．
（2）如图1中，作DM⊥OB于M，DN⊥OC于N．根据S_△BOC=S_△OBD+S_△OCD，可得$\frac{1}{2}$•OB•OC=$\frac{1}{2}$•OB•DM+$\frac{1}{2}$•OC•DN，由此即可解决问题．
（3）由线段OC是由线段AB平移得到，推出OA∥BC，推出∠AOB=∠OBG，由∠AOB=∠GOB，推出∠GOB=∠OBG，由∠OFC=∠FCG+∠FGC，∠FGC=∠GOB+∠OBG=2∠OBG，推出∠OFC+∠FCG=2∠FCG+2∠OBG=2（∠ECB+∠EBG），由∠OEC=∠ECB+∠EBC即可解决问题．

解答 解：（1）∵$\sqrt{a-2b}$+|b-2|=0，$\sqrt{a-2b}$≥0，|b-2|≥0，
∴a-2b=0，b=2，
∴a=4，b=2，
∴AB=BC=2，
∴C（0，-2）．
故答案为4，2，（0，-2）．

（2）如图1中，作DM⊥OB于M，DN⊥OC于N．

∵B（4，0），C（0，-2），D（m，n），
又∵S_△BOC=S_△OBD+S_△OCD，
∴$\frac{1}{2}$•OB•OC=$\frac{1}{2}$•OB•DM+$\frac{1}{2}$•OC•DN，
∴8=-4n+2m，
∴m-2n=4，
∴m=2n+4．

（3）结论：$\frac{∠OFC+∠FCG}{∠OEC}$的值不发生变化．$\frac{∠OFC+∠FCG}{∠OEC}$=2．
理由：如图2中，

∵线段OC是由线段AB平移得到，
∴OA∥BC，
∴∠AOB=∠OBG，
∵∠AOB=∠GOB，
∴∠GOB=∠OBG，
∵∠OFC=∠FCG+∠FGC，∠FGC=∠GOB+∠OBG=2∠OBG，
∴∠OFC+∠FCG=2∠FCG+2∠OBG=2（∠ECB+∠EBG），
∵∠OEC=∠ECB+∠EBC，
∴$\frac{∠OFC+∠FCG}{∠OEC}$=$\frac{2（∠ECB+∠EBC）}{∠ECB+∠EBC}$=2．

点评 本题考查三角形综合题、非负数的性质、平移变换、三角形的面积、平行线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用面积法解决线段之间的关系问题，属于中考压轴题．