Question

1．如图，平面直角坐标系中，A（2，0），△OAC为等边三角形．
（1）如图1，若D（0，4），△ADE为等边三角形，∠DAC=10°，求∠AEC的度数．
（2）如图2，若P为x轴正半轴上一点，且P在A的右侧，△PCM为等边三角形，MA的延长线交y轴于N，求AM-AP的值．
（3）如图3，若P为x轴正半轴上一点，且P在A的右侧，△PAM为等边三角形，OM与PC交于F，求证：AF+MF=PF．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得出AC=AO，AE=AD，∠OAC=∠EAD=60°，求出∠CAE=∠DAO，根据SAS证△CAE≌△OAD，推出CE=OD=4，∠ACE=∠AOD=90°，即可得出答案；
（2）根据等边三角形的性质得出OA=AC，CP=CM，∠OCA=∠MCP=60°，求出∠OCP=∠ACM，根据SAS推出△OCP≌△ACM，推出AM=OP，求出AM-OP=OP-AP=OA=2，即可得出答案；
（3）如图3，将△PAF顺时针旋转60°得到△EAM，利用旋转的性质和相关线段间的和差关系证得结论．

解答 （1）解：如图1，∵△AOC和△DAE是等边三角形，
∴AC=AO，AE=AD，∠OAC=∠EAD=60°
∴∠CAE=∠DAO=60^○-∠CAD，
在△CAE和△OAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AO}\\{∠CAE=∠OAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△CAE≌△OAD（SAS），
∴CE=OD=4，∠ACE=∠AOD=90°，
∵∠DAC=10°，∠DAE=60°，
∴∠CAE=60°+10°=70°，
∴∠AEC=180°-90°-70°=20°；

（2）解：如图2，∵△AOC和△CPM是等边三角形，
∴OA=AC，CP=CM，∠OCA=∠MCP=60°，
∴∠OCP=∠ACM，
在△OCP和△ACM中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=CP}\\{∠OCP=∠ACM}\\{OC=AC}\end{array}\right.$，
∴△OCP≌△ACM（SAS），
∴AM=OP，
∴AM-OP=OP-AP=OA，
∵A（2，0），
∴OA=2，
即AM-AP=2；

（3）证明：如图3，将△PAF顺时针旋转60°得到△EAM，
则△PAF≌△MAE，∠FAE=60°，
∴PF=EM，AF=AE，
∴△EAF是等边三角形，
∴EF=AF，
∴AF+MF=EF+MF=EM=PF，即AF+MF=PF．

点评 本题考查了等边三角形性质，坐标与图形性质以及全等三角形的性质和判定的应用，解答（3）题时，利用了旋转的性质和等边三角形的判定与性质，根据题意得到旋转角为60度是解题的难点与关键点，需要学生由很强的数学推理能力．