Question

如图所示，⊙O₁和⊙O₂外切于点A，AB是⊙O₁的直径，BD切⊙O₂于点D，交⊙O₁O₂
于点C，求证：AB•CD=AC•BD．

Answer 1

分析：连接DO₂，由BD为圆O₂的切线，利用切线的性质得到BD垂直于O₂D，由AB为圆O₁的直径，利用直径所对的角为直角，得到一对直角相等，再由一对公共角，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形ABC与三角形O₂BD相似，由相似得比例，变形即可得证．

解答：证明：连接DO₂，
∵BD为圆O₂的切线，
∴BD⊥O₂D，
∵AB为圆O₁的直径，
∴BC⊥AC，
∴∠ACB=∠O₂DB=90°，
∵∠ABC=∠O₂BD，
∴△ABC∽△O₂BD，
∴AB：AC=BO₂：DO₂，BD：DC=BO₂：AO₂，
∵DO₂=AO₂，
∴AB：AC=BD：DC，
即AB•CD=AC•BD．

点评：此题考查了相切两圆的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．