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如图所示,⊙O1和⊙O2外切于点A,AB是⊙O1的直径,BD切⊙O2于点D,交⊙O1O2
于点C,求证:AB•CD=AC•BD.
分析:连接DO2,由BD为圆O2的切线,利用切线的性质得到BD垂直于O2D,由AB为圆O1的直径,利用直径所对的角为直角,得到一对直角相等,再由一对公共角,利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形ABC与三角形O2BD相似,由相似得比例,变形即可得证.
解答:证明:连接DO2
∵BD为圆O2的切线,
∴BD⊥O2D,
∵AB为圆O1的直径,
∴BC⊥AC,
∴∠ACB=∠O2DB=90°,
∵∠ABC=∠O2BD,
∴△ABC∽△O2BD,
∴AB:AC=BO2:DO2,BD:DC=BO2:AO2
∵DO2=AO2
∴AB:AC=BD:DC,
即AB•CD=AC•BD.
点评:此题考查了相切两圆的性质,相似三角形的判定与性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

如图所示,⊙O1和⊙O2外切于A,BC是⊙O1和⊙O2的公切线,B、C是切点,求证:AB⊥AC.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图所示,⊙O1和⊙O2相切于P点,过P的直线交⊙O1于A,交⊙O2于B,求证:O1A∥O2B.

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科目:初中数学 来源: 题型:

(2009•毕节地区)如图所示,⊙O1和⊙O2外切于点C,AB是⊙O1和⊙O2的外公切线,A、B为切点,且∠ACB=90°.以AB所在直线为轴,过点C且垂直于AB的直线为轴建立直角坐标系,已知AO=4,OB=1.
(1)分别求出A、B、C各点的坐标;
(2)求经过A、B、C三点的抛物线y=ax2+bx+c的解析式;
(3)如果⊙O1的半径是5,问这条抛物线的顶点是否落在两圆连心线O1 O2上?如果在,请证明;如果不在,请说明理由.

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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

如图所示,⊙O1和⊙O2外切于点C,AB是⊙O1和⊙O2的外公切线,A、B为切点,且∠ACB=90°.以AB所在直线为轴,过点C且垂直于AB的直线为轴建立直角坐标系,已知AO=4,OB=1.
(1)分别求出A、B、C各点的坐标;
(2)求经过A、B、C三点的抛物线y=ax2+bx+c的解析式;
(3)如果⊙O1的半径是5,问这条抛物线的顶点是否落在两圆连心线O1 O2上?如果在,请证明;如果不在,请说明理由.

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