精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A、B的坐标分别为(8,0)、(0,6).动点Q从点O、动点P从点A同时出发,分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动,运动时间为t(秒)(0<t≤5).以P为圆心,PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D,连接CD、QC.
(1)求当t为何值时,点Q与点D重合?
(2)设△QCD的面积为S,试求S与t之间的函数关系式,并求S的最大值;
(3)若⊙P与线段QC只有一个交点,请直接写出t的取值范围.
(1)   (2)S的最大值为15   (3)0<t≤<t≤5
解:(1)∵A(8,0),B(0,6),
∴OA=8,OB=6,
∴AB===10,
∴cos∠BAO==,sin∠BAO==
∵AC为⊙P的直径,
∴△ACD为直角三角形.
∴AD=AC•cos∠BAO=2t×=t.
当点Q与点D重合时,OQ+AD=OA,
即:t+t=8,
解得:t=
∴t=(秒)时,点Q与点D重合.
(2)在Rt△ACD中,CD=AC•sin∠BAO=2t×=t.
①当0<t≤时,
DQ=OA﹣OQ﹣AD=8﹣t﹣t=8﹣t.
∴S=DQ•CD=(8﹣t)•t=﹣t2+t.
∵﹣=,0<
∴当t=时,S有最大值为
②当<t≤5时,
DQ=OQ+AD﹣OA=t+t﹣8=t﹣8.
∴S=DQ•CD=t﹣8)•t=t2t.
∵﹣=,所以S随t的增大而增大,
∴当t=5时,S有最大值为15>
综上所述,S的最大值为15.
(3)当CQ与⊙P相切时,有CQ⊥AB,
∵∠BAO=∠QAC,∠AOB=∠ACQ=90°,
∴△ACQ∽△AOB,
=
=
解得t=
所以,⊙P与线段QC只有一个交点,t的取值范围为0<t≤<t≤5.
(1)根据点A、B的坐标求出OA、OB,利用勾股定理列式求出AB,根据点Q的速度表示出OQ,然后求出AQ,再根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADC=90°,再利用∠BAO的余弦表示出AD,然后列出方程求解即可;
(2)利用∠BAO的正弦表示出CD的长,然后分点Q、D重合前与重合后两种情况表示出QD,再利用三角形的面积公式列式整理,然后根据二次函数的最值问题解答;
(3)有两个时段内⊙P与线段QC只有一个交点:①运动开始至QC与⊙P相切时(0<t≤);②重合分离后至运动结束(<t≤5).
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

在气候对人类生存压力日趋加大的今天,发展低碳经济,全面实现低碳生活成为人们的共识,某企业采用技术革新,节能减排,经分析前5个月二氧化碳排放量y(吨)与月份x(月)之间的函数关系是y=-2x+50.
(1)随着二氧化碳排放量的减少,每排放一吨二氧化碳,企业相应获得的利润也有所提高,且相应获得的利润p(万元)与月份x(月)的函数关系如图所示,那么哪月份,该企业获得的月利润最大?最大月利润是多少万元?
(2)受国家政策的鼓励,该企业决定从6月份起,每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降a%,与此同时,每排放一吨二氧化碳,企业相应获得的利润在上一个月的基础上都增加50%,要使今年6、7月份月利润的总和是今年5月份月利润的3倍,求a的值(精确到个位).
(参考数据:=7.14,=7.21,=7.28,=7.35)

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:①b2>4ac;②abc>0;③2a-b=0;④8a+c<0;⑤9a+3b+c<0,其中结论正确的是 (     ).(填正确结论的序号)

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图(1),直线与x轴交于点A、与y轴交于点D,以AD为腰,以x轴为底作等腰梯形ABCD(AB>CD),且等腰梯形的面积是8,抛物线经过等腰梯形的四个顶点.

图(1)
(1) 求抛物线的解析式;
(2) 如图(2)若点P为BC上的—个动点(与B、C不重合),以P为圆心,BP长为半径作圆,与轴的另一个交点为E,作EF⊥AD,垂足为F,请判断EF与⊙P的位置关系,并给以证明;

图(2)
(3) 在(2)的条件下,是否存在点P,使⊙P与y轴相切,如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

若抛物线的顶点在x轴上,则c的值为
A.1B.-1C.2D.4

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过平移得到抛物线,其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为(  )
A.2B.4C.8D.16

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=3,点E为BC边上的动点(点E与点B、C不重合),设BE=x.
操作:在射线BC上取一点F,使得EF=BE,以点F为直角顶点、EF为边作等腰直角三角形EFG,设△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S.
(1)求S与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)S是否存在最大值?若存在,请直接写出最大值,若不存在,请说明理由.
 

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中,正确的是(  )
A.abc<0
B.a+c<b
C.b>2a
D.4a>2b﹣c

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

甲、乙两位同学对问题“求代数式的最小值”提出各自的想法.甲说:“可以利用已经学过的完全平方公式,把它配方成,所以代数式的最小值为-2”.乙说:“我也用配方法,但我配成,最小值为2”.你认为(    )
A.甲对B.乙对C.甲、乙都对D.甲乙都不对

查看答案和解析>>

同步练习册答案