Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，M是x轴正半轴上一点，⊙M与x轴的正半轴交于A，B两点，A在B的左侧，且OA，OB的长是方程x²-12x+27=0的两根，ON是⊙M的切线，N为切点，N在第四象限．
（1）求⊙M的直径；
（2）求直线ON的解析式；
（3）在x轴上是否存在一点T，使△OTN是等腰三角形？若存在请在图2中标出T点所在位置，并画出△OTN（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不证明，不求T的坐标）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）易得一元二次方程的解，让OB-OA，得到直径．
（2）设出正比例函数解析式，连接圆心和切点，NC⊥OM，求得点N坐标，代入正比例函数即可．
（3）△OTN是等腰三角形那么应分OT=ON，OT=TN，TN=ON，三种情况进行分析．

解答：解：（1）解方程x²-12x+27=0，得x₁=9，x₂=3，
∵A在B的左侧，
∴OA=3，OB=9，
∴AB=OB-OA=6，
∴OM的直径为6（1分）．

（2）过N作NC⊥OM，垂足为C，连接MN，则MN⊥ON．
∵sin∠MON=

MN

OM

=

3

6

=

1

2

，
∴∠MON=30°，
又cos∠MON=

ON

OM

，
∴ON=OM×cos30°=3

3

；
在Rt△OCN中，
OC=ON•cos30°=3

3

×

3

2

=

9

2

，
CN=ON•sin30°=3

3

×

1

2

=

3 3

2

，
∴N的坐标为(

9

2

，-

3 3

2

)（3分），
（用其它方法求N的坐标，只要方法合理，结论正确，均可给分）．
设直线ON的解析式为y=kx，
∴-

3 3

2

=

9

2

k，
∴k=-

3

3

，
∴直线ON的解析式为y=-

3

3

x（4分）．

（3）存在．
T₁（3

3

，0），T₂（-3

3

，0），T₃（9，0），T₄（3，0）
如图2，T₁，T₂，T₃，T₄为所求作的点，△OT₁N，△OT₂N，△OT₃N，△OT₄N为所求等腰三角形．
（每作出一种图形给一分）（8分）．

点评：连接圆心和切点，构造直角三角形求解是常用辅助线方法，三角形为等腰三角形，那么任意两边之和相等，应分情况讨论．