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如图的⊙O中,AB为直径,OC⊥AB,弦CD与OB交于点F,过点D、A分别作⊙O的切线交于点G,并与AB延长线交于点E.

(1)求证:∠1=∠2.

(2)已知:OF:OB=1:3,⊙O的半径为3,求AG的长.

(1)证明见试题解析;(2)6.

【解析】

试题分析:(1)连接OD,根据切线的性质得OD⊥DE,则∠2+∠ODC=90°,而∠C=∠ODC,则∠2+∠C=90°,由OC⊥OB得∠C+∠3=90°,所以∠2=∠3,而∠1=∠3,所以∠1=∠2;

(2)由OF:OB=1:3,⊙O的半径为3得到OF=1,由(1)中∠1=∠2得EF=ED,在Rt△ODE中,DE=x,则EF=x,OE=1+x,根据勾股定理得,解得,则DE=4,OE=5,根据切线的性质由AG为⊙O的切线得∠GAE=90°,再证明Rt△EOD∽Rt△EGA,利用相似比可计算出AG.

试题解析:(1)连接OD,如图,∵DE为⊙O的切线,∴OD⊥DE,∴∠ODE=90°,即∠2+∠ODC=90°,∵OC=OD,∴∠C=∠ODC,∴∠2+∠C=90°,而OC⊥OB,∴∠C+∠3=90°,∴∠2=∠3,∵∠1=∠3,∴∠1=∠2;

(2)∵OF:OB=1:3,⊙O的半径为3,∴OF=1,∵∠1=∠2,∴EF=ED,在Rt△ODE中,OD=3,DE=x,则EF=x,OE=1+x,∵,∴,解得,∴DE=4,OE=5,∵AG为⊙O的切线,∴AG⊥AE,∴∠GAE=90°,而∠OED=∠GEA,∴Rt△EOD∽Rt△EGA,∴,即,∴AG=6.

考点:1.切线的性质;2.相似三角形的判定与性质.

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