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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，线段AD是BC边上的中线，如图①，将△ADC沿直线BC平移，使点D与点C重合，得到△FCE；如图②，再将△FCE绕点C顺时针旋转，设旋转角为α（0°＜α≤90°），连接AF、DE．

    （1）在旋转过程中，当∠ACE=150°时，求旋转角α的度数；
    （2）请探究在旋转过程中，四边形ADEF能形成哪些特殊四边形？请说明理由．
    【答案】分析：（1）分两种情况：①点E和点D在直线AC两侧；②点E和点D在直线AC的同侧分别得出即可；
    （2）利用当α=60°时以及当α≠60°时，∠ACF≠120°，分别得出四边形ADEF为平行四边形，以及AE=DF和AF∥DE即可得出答案．
    解答：解：（1）在图①中，∵∠BAC=90°，∠B=30°，
    ∴∠ACE=∠BAC+∠B=120°．
    在旋转过程中，分两种情况：
    ①当点E和点D在直线AC两侧时，如图2，
    ∵∠ACE=150°，
    ∴α=150°-120°=30°；
    ②当点E和点D在直线AC的同侧时，如备用图，
    ∵∠ACB=180°-∠BAC-∠B=60°，
    ∴∠DCE=∠ACE-∠ACB=150°-60°=90°，
    ∴α=180°-∠DCE=90°．
    ∴旋转角α为30°或90°；

    （2）四边形ADEF能形成等腰梯形和矩形．
    ∵∠BAC=90°，∠B=30°，，
    又AD是BC边上的中线，∴AD=CD=BC=AC，
    ∴△ADC为正三角形．
    ①当∴α=60°时，∠ACE=120°+60°=180°，
    ∵CA=CE=CD=CF，∴四边形ADEF为平行四边形，
    又∵AE=DF，∴四边形ADEF为矩形，
    ②当α≠60°时，∠ACF≠120°，∠DCE=360°-60°-60°-∠ACF≠120°，
    显然DE≠AF，
    ∵AC=CF，CD=CE
    ∵2∠FAC+∠ACF=180°，2∠CDE+∠DCE=180°∠ACF+∠DCE=360°-60°-60°=240°，
    ∴2∠FAC+2∠CDE=120°，
    ∴∠FAC+∠CDE=60°，
    ∵∠DAF+∠ADE=120°+60°=180°
    ∴AF∥DE．∴四边形ADEF为等腰梯形．
    点评：此题主要考查了旋转的性质以及矩形、等腰梯形的判定等知识，利用旋转得出正确图形是解题关键．
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