Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=150°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N，若BM=3，求BC的长．

Answer 1

连接AM，过点A作AO⊥BC于点O．（1分）
∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角），又∠BAC=150°，
∴∠B=∠C=15°（2分）
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AM=BM=3．（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）（3分）
∴∠MAB=∠B=15°（等边对等角），
∴∠AMO=∠B+∠MAB=30°．（4分）
又∵AO⊥BC，
∴OA=

1

2

AM=

3

2

（直角三角形中，30°的角所对直角边等于斜边一半）（5分）
在Rt△AOM中，由勾股定理，得MO=

AM2-OA2

=

32-( 3 2 )2

=

3 3

2

．（7分）
∴BO=BM+MO=3+

3 3

2

（8分）
∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，而AO⊥BC，
∴BO=OC．（等腰三角形底边上的高、底边上的中线互相重合）（9分）
则BC=2BO=6+3

3

．（10分）