Question

如图，抛物线y=ax²+bx经过点A（4，0），B（2，2）．连接OB，AB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求证：△OAB是等腰直角三角形；
（3）将△OAB绕点O按顺时针方向旋转135°得到△OA′B′，写出△OA′B′的边A′B′的中点P的坐标．试判断点P是否在此抛物线上，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求出抛物线的解析式；
（2）过B作BC⊥x轴于C，根据A、B的坐标易求得OC=BC=AC=2，由此可证得∠BOC、∠BAC、∠OBC、∠ABC都是45°，即可证得△OAB是等腰直角三角形；
（3）当△OAB绕点O按顺时针方向旋转135°时，OB′正好落在y轴上，易求得OB、AB的长，即可得到OB′、A′B′的长，从而可得到A′、B′的坐标，进而可得到A′B′的中点P点的坐标，然后代入抛物线中进行验证即可．

解答：解：（1）由题意得

16a+4b=0 4a+2b=2

，
解得

a=- 1 2 b=2

；
∴该抛物线的解析式为：y=-

1

2

x²+2x；

（2）过点B作BC⊥x轴于点C，则OC=BC=AC=2；
∴∠BOC=∠OBC=∠BAC=∠ABC=45°；
∴∠OBA=90°，OB=AB；
∴△OAB是等腰直角三角形；

（3）∵△OAB是等腰直角三角形，OA=4，
∴OB=AB=2

2

；
由题意得：点A′坐标为（-2

2

，-2

2

）
∴A′B′的中点P的坐标为（-

2

，-2

2

）；
当x=-

2

时，y=-

1

2

×（-

2

）²+2×（-

2

）≠-2

2

；
∴点P不在二次函数的图象上．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、等腰直角三角形的判定、图形的旋转变化等知识．