Question

【题目】如图，等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，AE＝CD，连接AD、BE交于点P．

（1）求证：∠BPD＝60°．

（2）连接PC，若CP⊥PB．当AP＝3，求BP的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）6．

【解析】

（1）证明△ADC≌△BEA即可说明AD＝BE；证明∠BPQ＝∠EBA+∠BAP＝60°即可求解∠PBQ的度数；

（2）延长PD至H，使PH＝BP，连接BH、CH，证明△BPH是等边三角形，得出BP＝BH＝PH，∠HBP＝∠ABD＝60°，推出∠ABP＝∠CBH，由SAS证得△ABP≌△CBH得出CH＝AP＝3，∠BCH＝∠BAP，证明CH∥BE，推出CH⊥CP，∠HPC＝30°，得出PH＝2CH＝6，即可得出结果．

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，

在△ABE和△CAD中，，

∴△ABE≌△CAD（SAS），

∴∠ABE＝∠CAD，

∵∠CAD+∠BAD＝60°，

∴∠ABE+∠BAD＝60°，

∴∠BPD＝∠ABE+∠BAD＝60°；

（2）解：延长PD至H，使PH＝BP，连接BH、CH，如图所示：

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝60°，

由（1）知：∠BPD＝60°，

∴△BPH是等边三角形，

∴BP＝BH＝PH，∠HBP＝∠ABD＝60°，

∴∠ABP+∠PBD＝∠CBH+∠PBD，

∴∠ABP＝∠CBH，

在△ABP和△CBH中，，

∴△ABP≌△CBH（SAS），

∴CH＝AP＝3，∠BCH＝∠BAP，

∵∠ABE＝∠CAD，∠BAC＝∠ABC＝60°，

∴∠EBC＝∠BAP，

∴∠BCH＝∠EBC，

∴CH∥BE，

∵CP⊥PB，∠BPD＝60°，

∴CH⊥CP，∠HPC＝90°﹣60°＝30°，

∴PH＝2CH＝2×3＝6，

∴BP＝6．