Question

安徽省第十三届运动会将于2014年在安庆市举行，2013年三月份安庆市某工艺厂设计了一款篮球工艺品投放市场进行试销．根据市场调查，这种工艺品一段时间内每周的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如下图所示（x为大于6的整数）
（1）试判断y与x的函数关系，并直接写出函数关系式；
（2）已知篮球工艺品的进价为10元/个，按照上述销售规律，当销售单价x定为多少时，试销该工艺品每周获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
（3）安庆市某体育超市每周购进该种篮球工艺品的进货成本不超过1000元，要想每周获得的利润最大，试确定该工艺品的销售单价（规定取整数），并求出此时每周获得的最大利润．

Answer 1

解：（1）y是x的一次函数．
设y=kx+b，
∵x=10时，y=300，x=12时，y=240，
∴，
解得，
所以，y与x之间的函数关系式为y=-30x+600；

（2）w=（x-10）（-30x+600）
=-30x²+900x-6000
=-30（x²-30x+225）+6750-6000
=-30（x-15）²+750，
∵a=-30＜0，
∴抛物线开口向下，其顶点（15，750）为抛物线最高点，
即当x=15时，w有最大值，最大销售利润为750元；

（3）由题意得10（-30x+600）≤1000，
解得x≥，
由（2）知图象对称轴为x=15，
∵a=-30＜0，
∴抛物线开口向下，当x≥时，w随x增大而减小，
又∵x为整数，
∴当x=17时，w_最大=（17-10）（-30×17+600）=630元．
即以17元/个的价格销售这批篮球可获得最大利润630元．
分析：（1）根据一个篮球每增加2元减少的个数相同可知y与x是一次函数关系，然后利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据利润=单个篮球的利润×个数列式整理得到w与x的关系式，然后利用二次函数的最值问题解答即可；
（3）根据进货成本不超过1000元列出不等式求出x的取值范围，再利用二次函数的增减性求出获得利润的最大值即可．
点评：本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=时取得．