Question

【题目】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0，

（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根？

（2）当Rt△ABC的斜边a＝，且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根时，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）3

【解析】

（1）根据根的判别式的符号来证明；

（2）根据韦达定理得到b+c=2k+1，bc=4k-3．又在直角△ABC中，根据勾股定理，得（b+c）2﹣2bc＝（）2，由此可以求得k的值．

（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（4k﹣3）＝4k2﹣12k+13＝（2k﹣3）2+4，

∴无论k取什么实数值，总有＝（2k﹣3）2+4＞0，即△＞0，

∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：∵两条直角边的长b和c恰好是方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0的两个根，得

∴b+c＝2k+1，bc＝4k﹣3，

又∵在直角△ABC中，根据勾股定理，得

b2+c2＝a2，

∴（b+c）2﹣2bc＝（）2，即（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31，

整理后，得k2﹣k﹣6＝0，解这个方程，得k＝﹣2或k＝3，

当k＝﹣2时，b+c＝﹣4+1＝﹣3＜0，不符合题意，舍去，当k＝3时，b+c＝2×3+1＝7，符合题意，故k＝3．