Question

如图所示，∠MBN=45°，若△ABC的顶点A在射线BM上，且AB=

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，点C在射线BN上运动（C不与B重合），请你探究：
（1）若△ABC是直角三角形，试求线段BC的长，并将点C的位置标注在图形中；

（2）探究：①当BC的值在什么范围时，△ABC是锐角三角形；

②当BC的值在什么范围时，△ABC是钝角三角形．

Answer 1

分析：①若△ABC是直角三角形，则有两种情况：∠ACB=90°或∠BAC=90°．根据等腰直角三角形的性质进行计算BC的长；
②结合图形，知要使△ABC是锐角三角形，则应介于①的两种情况之间；
③结合图形，知要使△ABC是钝角三角形，则应小于①中求得的较小的BC或大于①中求得的较大的BC的长．

解答：解：①如图所示，

当∠ACB=90°时，则BC=

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AB=1；
当∠BAC=90°时，则BC=

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AB=2．
即BC=1或2时，△ABC是直角三角形；
②当1＜BC＜2时，△ABC是锐角三角形；
③当BC＜1或BC＞2时，△ABC是钝角三角形．

点评：此题综合运用了等腰直角三角形的性质，能够结合图形分析不同形状的三角形的取值范围．