Question

1．如图，已知等边△ABC中，DE∥BC，FG∥BC，现将等边△ABC分别沿DE和FG对折，点A分别落在点A₁和点A₂，连接A₂B，A₂C．
（1）求证：A₂B=A₂C；
（2）①图中除等边△ABC外还有7个等边三角形；
②设A₁D、A₁E交GF于M、N两点，若DE=$\frac{7}{3}$cm，FG=4cm，则△A₁MN的周长是2cm．

Answer 1

分析 （1）由△A₂FG是等边三角形，得出A₂F=A₂G，∠A₂FB=180°-∠AFG-∠A₂FG=60°，同样，求出∠A₂GC=60°，所以∠A₂FB=∠A₂GC，FB=AB-AF=AC-AG=GC，根据SAS得出△A₂FB≌△A₂GC，从而A₂B=A₂C；
（2）①由FG∥BC得出∠AFG=∠ABC=60°，∠AGF=∠ACB=60°，由等边三角形的判定方法可以得出△AFG是等边三角形，结合对折的性质写出剩余的4个等边三角形；
②首先推出△A₁MN是等边三角形，那么求△A₁MN的周长，关键就是求其边长，根据对称性，可以得出．

解答 解：（1）证明：∵是△ABC等边三角形，
∴∠A=∠ACB=∠ABC=60°，AB=AC．
∵FG∥BC，∠AFG=∠ABC=60°，
∴△AFG是正三角形．                 
由对折可知，△AFG≌△A₂FG，
∴△A₂FG是正三角形．
∴A₂F=A₂G，∠A₂FB=∠A₂GC=60°．
又∵AF=AG，
∴BF=CG．
∴△A₂FB≌△A₂GC，
∴A₂B=A₂C．

（2）①图中除等边△ABC外还有7个等边三角形，理由如下：
∵等边△ABC，
∴∠A=∠ACB=∠ABC=60°，AB=AC．
∵FG∥BC，∠AFG=∠ABC=60°，
∴△AFG是等边三角形，
由对折的性质推知：△A₂FG是等边三角形，
同理：△ADE、△A₁DE、△A₁MN是等边三角形．
∵∠DFM=∠DMF=60°，
∴△DFM是等边三角形，
同理△ENG是等边三角形．
综上所述，图中除等边△ABC外还有 7个等边三角形；
故答案是：7；
 ②∵∠A₁MN=∠A₁NM=∠MA₁N=60°，
∴△A₁MN是等边三角形．
又∵DE=$\frac{7}{3}$cm，FG=4cm，△DFM是等边三角形，
∴MD=FD=4-$\frac{7}{3}$=$\frac{5}{3}$．
∴MA₁=A₁D-MD=$\frac{7}{3}$-$\frac{5}{3}$=$\frac{2}{3}$（cm）．
∴△A₁MN的周长为2cm．
故答案是：2．

点评 本题考查几何变换综合题，需要掌握图形的折叠变化及等边三角形的性质和判定．关键要理解对折是轴对称，根据轴对称的性质，对折前后图形的形状和大小不变，只是位置发生变化．