Question

已知抛物线y=ax²+bx+2与x轴相交于点A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），且x₁，x₂是方程x²-2x-3=0的两个实数根，点C为抛物线与y轴的交点．
（1）求a，b的值；
（2）分别求出直线AC和BC的解析式；
（3）若动直线y=m（0＜m＜2）与线段AC，BC分别相交于D，E两点，则在x轴上是否存在点P，使得△DEP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出方程两根代入抛物线解析式即可；
（2）设所求的解析式为y=kx+b，用待定系数法求解；
（3）若△DEP为等腰直角三角形，应分情况进行讨论，需注意应符合两个条件：等腰，有直角．

解答：解：（1）由x²-2x-3=0，得x₁=-1，x₂=3．
∴A（-1，0），B（3，0），（1分）
把A，B两点的坐标分别代入
y=ax²+bx+2联立求解，
得a=-

2

3

，b=

4

3

．（2分）

（2）由（1）可得y=-

2

3

x²+

4

3

x+2，
∵当x=0时，y=2，
∴C（0，2）．
设AC：y=kx+b，把A，C两点坐标分别代入y=kx+b，联立求得k=2，b=2．
∴直线AC的解析式为y=2x+2．（3分）
同理可求得直线BC的解析式是y=-

2

3

x+2．（4分）

（3）假设存在满足条件的点P，并设直线y=m与y轴的交点为F（0，m）．
①当DE为腰时，分别过点D，E作DP₁⊥x轴于P₁，作EP₂⊥x轴于P₂，如图，
则△P₁DE和△P₂ED都是等腰直角三角形，DE=DP₁=FO=EP₂=m，AB=x₂-x₁=4．
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴

DE

AB

=

CF

OC

，即

m

4

=

2-m

2

．
解得m=

4

3

．（6分）
∴点D的纵坐标是

4

3

，
∵点D在直线AC上，
∴2x+2=

4

3

，解得x=-

1

3

，
∴D（-

1

3

，

4

3

）．
∴P₁（-

1

3

，0），同理可求P₂（1，0）．（8分）

②当DE为底边时，
过DE的中点G作GP₃⊥x轴于点P₃，如图，

则DG=EG=GP₃=m，
由△CDE∽△CAB，
得

DE

AB

=

CF

OC

，即

2m

4

=

2-m

2

，
解得m=1．（9分）
同1方法．求得D（-

1

2

，1），E（

3

2

，1），
∴DG=EG=GP₃=1
∴OP₃=FG=FE-EG=

1

2

，
∴P₃（

1

2

，0）．（11分）
结合图形可知，P₃D²=P₃E²=2，ED²=4，
∴ED²=P₃D²+P₃E²，
∴△DEP₃是Rt△，
∴P₃（

1

2

，0）也满足条件．
综上所述，满足条件的点P共有3个，即P₁（-

1

3

，0），P₂（1，0），P₃（

1

2

，0）．（12分）

点评：本题考查的知识点较为全面：解一元二次方程，用待定系数法求函数解析式，相似的应用以及勾股定理，等腰三角形的性质等，需耐心分析，加以应用．