Question

9．如图，边长为n的正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点A₁，A₂，…，A_n-1为OA的n等分点，点B₁，B₂，…，B_n-1为CB的n等分点，连结A₁B₁，A₂B₂，…，A_n-1B_n-1，分别交曲线y=$\frac{1}{x}$（x＞0）于点C₁，C₂，…，C_n-1．BC与双曲线y=$\frac{1}{x}$交于点E，若$\frac{{B}_{n-1}E}{{B}_{n-1}{C}_{n-1}}$=$\frac{14}{15}$，则n的值为15．（n为正整数）

Answer 1

分析 先根据正方形OABC的边长为n，点A₁，A₂，…，A_n-1为OA的n等分点，点B₁，B₂，…，B_n-1为CB的n等分点可知OA_n-1=n-1，A_n-1B_n-1=n，再分别求得C_n-1点的坐标
和E的坐标，从而求得B_n-1E=n-1-$\frac{1}{n}$=$\frac{{n}^{2}-n-1}{n}$，B_n-1C_n-1=n-$\frac{1}{n-1}$=$\frac{{n}^{2}-n-1}{n-1}$，然后根据$\frac{{B}_{n-1}E}{{B}_{n-1}{C}_{n-1}}$=$\frac{14}{15}$，即可求得n的值．

解答 解：∵正方形OABC的边长为n，点A₁，A₂，…，A_n-1为OA的n等分点，点B₁，B₂，…，B_n-1为CB的n等分点，∴OA_n-1=n-1，A_n-1B_n-1=n，
把x=n-1代入y=$\frac{1}{x}$，得y=$\frac{1}{n-1}$，
∴C_n-1（n-1，$\frac{1}{n-1}$）=n-$\frac{1}{n-1}$
∴B_n-1C_n-1=n-$\frac{1}{n-1}$=$\frac{{n}^{2}-n-1}{n-1}$，
把y=n代入y=$\frac{1}{x}$，得x=$\frac{1}{n}$，
∴E（$\frac{1}{n}$，n），
∴B_n-1E=n-1-$\frac{1}{n}$=$\frac{{n}^{2}-n-1}{n}$，
∵$\frac{{B}_{n-1}E}{{B}_{n-1}{C}_{n-1}}$=$\frac{14}{15}$，
∴$\frac{\frac{{n}^{2}-n-1}{n}}{\frac{{n}^{2}-n-1}{n-1}}$=$\frac{14}{15}$，
∴$\frac{n-1}{n}$=$\frac{14}{15}$，
解得n=15；
故答案为：15

点评 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上k=xy为定值是解答此题的关键．