如图①.在平面直角坐标系中.正方形OABC的顶点A.B的坐标分别为.点D.E分别是边OA.AB的中点.点F是线段DE的中点.过点D的抛物线y=x2+2mx+n的顶点为P．．用含m的代数式表示n为n=-2m．(2)当抛物线y=x2+2mx+n过点B时.如图②．①求该抛物线所对应的函数表达式,②若点M在该抛物线上.且位于x轴下方.点N在正方形OABC的边上.当以DE和MN为对边的四� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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7．如图①，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A、B的坐标分别为（2，2）、（4，0），点D、E分别是边OA、AB的中点，点F是线段DE的中点，过点D的抛物线y=x²+2mx+n（m、n为常数）的顶点为P．
（1）点D的坐标为（1，1）．用含m的代数式表示n为n=-2m．
（2）当抛物线y=x²+2mx+n过点B时，如图②．
①求该抛物线所对应的函数表达式；
②若点M在该抛物线上，且位于x轴下方，点N在正方形OABC的边上，当以DE和MN为对边的四边形是平行四边形时，求点N的坐标；
（3）当点P在正方形OABC的边上或内部，且抛物线y=x²+2mx+n与线段EF没有公共点时，直接写出m的取值范围．

分析（1）根据中点坐标公式即可求出点D坐标，把点D坐标代入抛物线的解析式即可解决问题．
（2）①把点B坐标代入抛物线的解析式即可．
②观察图象可知点N在BC边上，直线BC的解析式为y=x-4，设M（m，m²-$\frac{16}{3}$m+$\frac{16}{3}$），则N（m+2，m²-$\frac{16}{3}$m+$\frac{16}{3}$），把点N坐标代入直线BC的解析式即可．
（3）分对称轴在点F左边或点E右边，分别列出不等式组，解不等式组即可解决问题．

解答解：（1）∵A（2，2），DO=DA，
∴D（1，1），
把D（1，1）代入y=x²+2mx+n得1=1+2m+n，
∴n=-2m．
故答案为（1，1），n=-2m．

（2）①∵y=x²+2mx-2m经过点B（4，0），
∴0=16+8m-2m，
∴m=-$\frac{8}{3}$，
∴抛物线的解析式为y=x²-$\frac{16}{3}$x+$\frac{16}{3}$．

②观察图象可知点N在BC边上，直线BC的解析式为y=x-4，
设M（m，m²-$\frac{16}{3}$m+$\frac{16}{3}$），则N（m+2，m²-$\frac{16}{3}$m+$\frac{16}{3}$），
把点N坐标代入直线BC的解析式得到，m²-$\frac{16}{3}$m+$\frac{16}{3}$=m+2-4，
整理得到3m²-19m+22=0，
解得m=$\frac{19-\sqrt{97}}{6}$或$\frac{19+\sqrt{97}}{6}$（舍弃）
∴N（$\frac{31-\sqrt{97}}{6}$，$\frac{7-\sqrt{97}}{6}$）．

（3）由题意$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2m}{2}＜\frac{3}{2}}\\{-m≥2m+{m}^{2}}\\{-m≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2m}{2}＞2}\\{4+m≥2m+{m}^{2}}\\{4+m≥0}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{3}{2}$≤m≤0或$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$≤m＜-2．

点评本题考查二次函数综合题、一次函数、待定系数法、不等式组等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为不等式组解决问题，属于中考压轴题．

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