Question

6．如图，直线y=k₁x+b与双曲线y=$\frac{{k}_{2}}{x}$相交于A（1，2），B（m，-1）两点．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）若A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），A₃（x₃，y₃）为双曲线上的三点，且x₁＜x₂＜0＜x₃，请直接写出y₁，y₂，y₃的大小关系式；
（3）直线AB交x轴、y轴于点D、C，证明：△AOC≌△BOD．

Answer 1

分析 （1）先将A点代入双曲线后求出k₂，再由双曲线求出B的坐标，再利用A、B两点的坐标求出直线y=k₁x+b的解析式；
（2）利用函数图象即可求出y₁，y₂，y₃的大小关系式；
（3）利用勾股定理可求出OA=OB，进而得出∠DBO=∠CAO，易证直线AB与x轴的夹角为45°，所以△AOC≌△BOD．

解答 解：（1）把A（1，2）代入y=$\frac{{k}_{2}}{x}$，
∴k₂=2，
∴双曲线为y=$\frac{2}{x}$，
把B（m，-1）代入y=$\frac{2}{x}$，
∴m=-1，
∴B（-2，-1），
把A（1，2）和B（-2，-1）代入y=k₁x+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2={k}_{1}+b}\\{-1=-2{k}_{1}+b}\end{array}\right.$，
∴解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=1}\\{b=1}\end{array}\right.$
∴直线为：y=x+1，
（2）由图象可知：y₂＜y₁＜y₃；
（3）令x=0代入y=x+1，
∴y=1，
∴C（0，1），
令y=0，代入y=x+1，
∴x=-1，
∴D（-1，0），
∴OD=OC，
∴∠CDO=∠DCO=45°，
∴∠BDO=∠ACO，
∵A（1，2），B（-2，-1），
∴OA=OB，
∴∠DBO=∠CAO，
在△AOC与△BOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OCA=∠ODB}\\{∠OAC=∠OBD}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△BOD

点评 本题考查一次函数与反比例函数的综合题，涉及待定系数法求解析式，勾股定理，全等三角形的判定，函数图象的性质等知识，综合程度较高．