Question

如图，已知BC为⊙O的直径，A点在圆周上，AB=6，AC=8，AE平分∠BAC，求AE的长为（　　）

• A．8

  2

• B．7

  2

• C．5+4

  2

• D．6+3

  2

Answer 1

分析：过B作BN∥AE交CA于N，过A作AM⊥BC于M，连接OE，求出AN=AB，求出BZ和CZ，求出AM，EZ，根据勾股定理求出AZ和EZ即可．

解答：解：
过B作BN∥AE交CA于N，过A作AM⊥BC于M，连接OE，
∵BC为直径，
∴∠BAC=90°，
∵AB=6，AC=8，由勾股定理得：BC=10，
由三角形面积公式得：AC×AB=BC×AM，
∴AM=4.8，
∵BN∥AE，
∴∠N=∠CAE，∠NBA=∠BAE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE，
∴∠N=∠NBA，
∴AB=AN，
∵BN∥AE，
∴

AC

AN

=

CZ

BZ

，
∴

AC

AB

=

CZ

BZ

，
∴

8

6

=

CZ

10-CZ

，
CZ=

40

7

，BZ=10-

40

7

=

30

7

，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE，
∴弧CE=弧BE，
∴EO⊥BC，
∵OE=OC=

1

2

BC=5，
∴ZO=

40

7

-5=

5

7

，
由勾股定理得：EZ=

EO2+ZO2

=

25

7

2

，
在Rt△ABM中，BM=

AB2-AM2

=

18

5

，
∴MZ=

30

7

-

18

5

=

24

35

，
在Rt△AMZ中，AZ=

AM2+MZ2

=

24

7

2

，
∴AE=AZ+EZ=

25

7

2

+

24

7

2

=7

2

，
故选B．

点评：本题考查了圆周角定理，勾股定理，角平分线性质，平行线分线段成比例定理的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力．