Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）与双曲线相交于点A，B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（-2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC与△ABE的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点A（-2，2）在双曲线y=上，
∴k=-4，
∴双曲线的解析式为y=-，
∵BC与x轴之间的距离是点B到y轴距离的4倍，
∴设B点坐标为（m，-4m）（m＞0）代入双曲线解析式得m=1，
∴抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）过点A（-2，2）、B（1，-4）、O（0，0），
∴，
解得：，
故抛物线的解析式为y=-x²-3x；

（2）∵抛物线的解析式为y=-x²-3x，
∴顶点E（-，），对称轴为x=-，
∵B（1，-4），
∴-x²-3x=-4，
解得：x₁=1，x₂=-4，
∵C_横坐标＜0，
∴C（-4，-4），
∴S_△ABC=5×6×=15，
由A、B两点坐标为（-2，2），（1，-4）可求得直线AB的解析式为：y=-2x-2，
设抛物线的对称轴与AB交于点F，连接BE，则F点的坐标为（-，1），
∴EF=-1=，
∴S_△ABE=S_△AEF+S_△BEF=×EF×|A_横|+EF×|B_横|=××（|A_横|+|B_横|）=××3=；

（3）S_△ABE=，
∴8S_△ABE=15，
∴当点D与点C重合时，显然满足条件；
当点D与点C不重合时，过点C作AB的平行线CD，其对应的一次函数解析式为y=-2x-12，
令-2x-12=-x²-3x，
∴x²+x-12=0，
∴（x-3）（x+4）=0，
解得x₁=3，x₂=-4（舍去），
当x=3时，y=-18，
故存在另一点D（3，-18）满足条件．
综上可得点D的坐标为（3，-18）或（-4，-4）．
分析：（1）将点A的坐标代入双曲线方程即可得出k的值，设B点坐标为（m，-4m）（m＞0），根据双曲线方程可得出m的值，然后分别得出了A、B、O的坐标，利用待定系数法求解二次函数解析式即可；
（2）根据点B的坐标，结合抛物线方程可求出点C的坐标，继而可得出三角形ABC的面积，先求出AB的解析式，然后求出点F的坐标，及EF的长，继而根据S_△ABE=S_△AEF+S_△BEF可得出答案．
（3）先确定符合题意的三角形ABD的面积，继而可得出当点D与点C重合时，满足条件，过点C作AB的平行线CD，则可求出其解析式，求出其与抛物线的交点坐标即可得出点D的坐标．
点评：此题属于二次函数的综合题目，第一问的解答关键是掌握待定系数法的运用，求解第二问需要我们会根据函数解析式求两函数图象的交点坐标，此类综合题目，难度较大，注意逐步分析．