如图.已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A.且与y轴交于点C.连接AB.AC.BC．(1)求此二次函数的关系式,(2)判断△ABC的形状,若△ABC的外接圆记为⊙M.请直接写出圆心M的坐标,(3)若将抛物线沿射线BA方向平移.平移后点A.B.C的对应点分别记为点A1.B1.C1.△A1B1C1的外接圆记为⊙M1.是否存在某个位置.使⊙M1经过原� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

11．

如图，已知二次函数y=ax²+bx+3（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（4，1），且与y轴交于点C，连接AB、AC、BC．
（1）求此二次函数的关系式；
（2）判断△ABC的形状；若△ABC的外接圆记为⊙M，请直接写出圆心M的坐标；
（3）若将抛物线沿射线BA方向平移，平移后点A、B、C的对应点分别记为点A₁、B₁、C₁，△A₁B₁C₁的外接圆记为⊙M₁，是否存在某个位置，使⊙M₁经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．

分析（1）直接利用待定系数法求出a，b的值进而得出答案；
（2）首先得出∠OAC=45°，进而得出AD=BD，求出∠DAB=45°，即可得出答案；
（3）首先利用已知得出圆M平移的长度为：2$\sqrt{2}$-$\sqrt{5}$或2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$，进而得出抛物线的平移规律，即可得出答案．

解答解：（1）把点A（3，0），B（4，1）代入y=ax²+bx+3中，
$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+3=0}\\{16a+4b+3=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
所以所求函数关系式为：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3；

（2）△ABC是直角三角形，
过点B作BD⊥x轴于点D，
易知点C坐标为：（0，3），所以OA=OC，
所以∠OAC=45°，
又∵点B坐标为：（4，1），
∴AD=BD，
∴∠DAB=45°，
∴∠BAC=180°-45°-45°=90°，
∴△ABC是直角三角形，
圆心M的坐标为：（2，2）；

（3）存在
取BC的中点M，过点M作ME⊥y轴于点E，
∵M的坐标为：（2，2），
∴MC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，OM=2$\sqrt{2}$，
∴∠MOA=45°，
又∵∠BAD=45°，
∴OM∥AB，
∴要使抛物线沿射线BA方向平移，且使⊙M₁经过原点，
则平移的长度为：2$\sqrt{2}$-$\sqrt{5}$或2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$；
∵∠BAD=45°，
∴抛物线的顶点向左、向下均分别平移$\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$=$\frac{4-\sqrt{10}}{2}$个单位长度
或$\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$=$\frac{4+\sqrt{10}}{2}$个单位长度，
∵y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{5}{2}$）²-$\frac{1}{8}$，
∴平移后抛物线的关系式为：y=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{5}{2}$+$\frac{4-\sqrt{10}}{2}$）²-$\frac{1}{8}$-$\frac{4-\sqrt{10}}{2}$，
即y=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1+\sqrt{10}}{2}$）²-$\frac{17-4\sqrt{10}}{8}$，
或y=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{5}{2}$+$\frac{4+\sqrt{10}}{2}$）²-$\frac{1}{8}$-$\frac{4+\sqrt{10}}{2}$，
即y=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1-\sqrt{10}}{2}$）²-$\frac{17+4\sqrt{10}}{8}$．
综上所述，存在一个位置，使⊙M₁经过原点，此时抛物线的关系式为：
y=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1+\sqrt{10}}{2}$）²-$\frac{17-4\sqrt{10}}{8}$或y=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1-\sqrt{10}}{2}$）²-$\frac{17+4\sqrt{10}}{8}$．

点评此题主要考查了二次函数综合以及二次函数的平移、等腰直角三角形的性质等知识，正确得出圆M的平移距离是解题关键．

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