Question

如图，已知：∠MAN=60°，AP平分∠MAN，且AP=4，请探究：
（1）如图＜1＞，若以AP为直径作⊙O，分别交AM、AN于B、C，求AB+AC的长；
（2）如图＜2＞，若以AP为弦（不是直径），任作⊙O₁分别交AM、AN于B₁、C₁点，则AB₁+AC₁的长是否不变？请说明理由；
（3）如图＜3＞，若以AP为弦（不是直径）作⊙O₂与AM切于A点，交AN于C₂点，则AC₂的长是多少？请说明理由。

Answer 1

解：（1）连接PB、PC， ∵AP为ΘO的直径， ∴∠ABP=∠ACP=90°， ∵AP平分∠MAN， ∴∠BAP=30°， ∴AB=AC=APcos30°=， ∴AB+AC=4；
（2）AB1+AC1的长度不变， 理由：连接PB1、PC1， 在△PBB1和△PCC1中， ∵∠B1AP=∠C1AP=30°， ∴， ∴PB1=PC1， ∵∠ABP=∠C1CP=90°， ∴PB=PC， ∴Rt△PBB1≌RtPCC1， ∴B1B=C1C， ∴AB1+AC1=AB-B1B+AC+C1C=AB+AC=4；
（3）连接AO2并延长交ΘO2于D，连接PD、PC2， ∴∠APD=90°， 则∠D+∠PAD=90°， ∵ΘO2与AM切于A点， ∴∠PAD+∠BAP=90° =4， ∵∠D=∠BAP=∠CAP=30°， ∵∠D=∠AC2P， ∴∠AC2P=∠CAP， ∴△APC2为等腰三角形， ∵∠ACP=90°，即PC⊥AC2， ∴AC=CC2=， ∴AC2=AC+CC2=。