Question

14．如图，⊙M与x轴交于A、B两点，其坐标分别为A（-3，0）、B（1，0），直径CD⊥x轴于N，抛物线y=-x²-2x+m经过A、B、D三点，
（1）求m的值及点D的坐标；
（2）若直线CE切⊙M于点C，G在直线CE上，已知点G的横坐标为3．求G的纵坐标；
（3）对于（2）中的G，是否存在过点G的直线，使它与（1）中抛物线只有一个交点，请说明理由；
（4）对于（2）中的G，直线FG切⊙M于点F，求直线DF的解析式．

Answer 1

分析 （1）将A或B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数m的值，进而可求得抛物线的顶点坐标；根据圆和抛物线的对称性知，点D即为抛物线的顶点，由此得解．
（2）已知了点D的坐标，需求出直线DF上另一点的坐标；根据A、B、D的坐标，可求得AN、BN、DN的长，根据相交弦定理知：DN•NC=AN•BN，由此可求得NC的长，即可得到点C的坐标，易证得CG∥x轴，则可求得G的纵坐标；
（3）假设存在过G的直线y=kx+b，由G（3，-1），可得3k+b=-1，即可求得b=-1-3k，的方程组：$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}-2x+3}\\{y=kx-1-3k}\end{array}\right.$，由与抛物线只有一个交点，可得判别式△=0，即可求得k的值；
（4）设直线DF与直线CE的交点为E，连接CF，根据圆周角定理可知△CFP是直角三角形，而CG、CF同为⊙M的切点，即CG=GF，所以点G即为斜边CP的中点，由此可得点P的坐标，根据D、P的坐标，即可用待定系数法求得直线DF的解析式．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²-2x+m过点A，B两点，
∴根据根与系数的关系可得：-3×1=-m，
∴m=3，
∴抛物线为：y=-x²-2x+3，
又∵抛物线过点D，由圆的对称性知点D为抛物线的顶点，
∴D点坐标为（-1，4）．

（2）由题意知AB=4，
∵CD⊥x轴，
∴NA=NB=2，
∴ON=1，
由相交弦定理得NA•NB=ND•NC，
∴NC×4=2×2，NC=1，
∴C的坐标为（-1，-1），
∵直线CE切⊙M于点C，
∴CD⊥CG，
∴CG∥x轴，
∴G的纵坐标为-1；

（3）存在．
假设存在过G的直线y=kx+b，
∵G（3，-1），
∴3k+b=-1，
∴b=-1-3k，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}-2x+3}\\{y=kx-1-3k}\end{array}\right.$，
∴kx-1-3k=-x²-2x+3，
整理得：x²+（k+2）x-4-3k=0，
∴当与抛物线只有一个交点时，△=（k+2）²-4（-4-3k）=0，
解得：k=-8±2$\sqrt{11}$，
另：过G点并与y轴平行的直线与抛物线也只有一个交点；
∴存在过点G的直线，使它与（1）中抛物线只有一个交点；

（4）设直线DF交CE于P，连接CF，得∠CFP=90°，
∵CG，FG为圆M的切线，
∴FG=GC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠FPC，
∴FG=GP，
∴GC=GP，
可得CP=8，
∴P点的坐标为（7，-1）；
设直线DF的解析式为y=kx+b（k≠0），
则$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=4}\\{7k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{5}{8}}\\{b=\frac{27}{8}}\end{array}\right.$，
∴直线DF的解析式为y=-$\frac{5}{8}$x+$\frac{27}{8}$．

点评 此题主要考查了二次函数解析式的确定、圆和抛物线的对称性、圆周角定理、相交弦定理、直角三角形的性质、函数图象交点坐标的求法、根的判别式等知识，涉及知识面较广，难度较大．