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(2008•朝阳区二模)如图,△AOC在平面直角坐标系中,∠AOC=90°,且O为坐标原点,点A、C分别在坐标轴上,AO=4,OC=3,将△AOC绕点C按逆时针方向旋转,旋转后的三角形记为△CA′O′.
(1)当CA边落在y轴上(其中旋转角为锐角)时,一条抛物线经过A、C两点且与直线AA′相交于x轴下方一点D,如果S△AOD=9,求这条抛物线的解析式;
(2)继续旋转△CA′O′,当以CA′为直径的⊙P与(1)中抛物线的对称轴相切时,圆心P是否在抛物线上,请说明理由.

【答案】分析:(1)根据已知条件先求出直线AA′的解析式,再求出D点的坐标,即可求出抛物线的解析式;
(2)由得对称轴为.由⊙P与抛物线的对称轴相切,可有两种情况:情况1:如图②,过点P向抛物线的对称轴作垂线,交对称轴于点E,交y轴于点F,点P到对称轴的距离PE等于⊙P的半径,求出点P的坐标即可判断;情况2:如图③,过点P′向抛物线的对称轴作垂线,交对称轴于点E′,交轴于点F′,求出点P′的坐标即可证明;
解答:解:(1)在Rt△AOC中,∵AO=4,OC=3,∴AC=5.
由旋转可知A′C=AC=5.
∴A′O=A′C-OC=2.
∴A(-4,0),C(0,3),A′(0,-2).
可求得直线AA′的解析式为
抛物线与直线AA′交于点D,设点D(x,y),
∵S△AOD=9,
.解得
代入,得x=5.
∴D(5,).
∵抛物线过A、C、D三点,
∴可求得抛物线的解析式为

(2)由得对称轴为
∵⊙P与抛物线的对称轴相切,可有两种情况:
情况1:如图②,过点P向抛物线的对称轴作垂线,交对称轴于点E,交y轴于点F,点P到对称轴的距离PE等于⊙P的半径,
即PE=,PF=2.CF=
∴FO=CO-CF=
∴P(2,).
∵点P的坐标满足
∴点P在抛物线上.

情况2:如图③,过点P′向抛物线的对称轴作垂线,交对称轴于点E′,交轴于点F'.
同理可求得点
∵点P'坐标不满足抛物线
∴此点P′不在抛物线上.

点评:本题考查了二次函数综合题,难度较大,关键是注意由⊙P与抛物线的对称轴相切,可有两种情况,需要分情况讨论.
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