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在△ABC中,AB=BC=4,∠ABC=90°,P是斜边AC上的一个动点,D为BC上精英家教网的一点,且PB=PD,ED⊥AC垂足为E.
(1)如图(1)试确定PE与AC之间的数量关系
 

(2)如图(2)在(1)的条件下,若P点在AC的延长线上时,(1)中结论是否成立?如果成立,请给予证明.
(3)如图(1)当AP=1时,四边形PBDE的面积为
 
平方单位(直接写出结果,不要求解答过程).
分析:(1)作斜边AC的中线BO,即可推出BO⊥BC,且BO=OC=AO,然后通过求证△POB≌△DEP,推出PE=BO,即可推出PE与AC的数量关系,(2)依然成立,通过求证△OPB≌△EDP即可推出结论,(3)做作斜边AC的中线BO,根据(1)所推出的结论,即可得:PE=OB=2
2
,DE=CE=OP=2
2
-1
,通过S四边形PBDE=S△BPO+S△BOC-S△CDE,即可推出S四边形PBDE的值.
解答:解:(1)作斜边AC的中线BO,
∵△ABC中,AB=BC=4,∠ABC=90°,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴BO⊥BC,且BO=OC=AO,∠A=∠C=45°,
∵ED⊥AC,
∴∠EDC=∠OBC=OBA∠=45°,
∵PB=PD,
∴∠PDB=∠PBD=45°+∠PBO=45°+∠DPC,
∴∠PBO=∠DPC
∵ED⊥AC,
∴Rt△BOP≌Rt△PDE,
∴BO=PE,
∴PE=OC=AO,
∴PE=
1
2
AC

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(2)作斜边AC的中线BO,
∵△ABC中,AB=BC=4,∠ABC=90°,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴BO⊥BC,且BO=OC=AO,
∵AE⊥DE,
∴∠OBC=∠OCB=∠DCE=∠CDE=45°,
∵PD=PB,
∴∠PDC=∠CBD,
∵∠DPE=∠DCE+∠PDC,∠OBP=∠OBC+∠CBP,
∴∠DPE=∠OBP,
∴△OPB≌△EDP,
∴OB=PE,
∴PE=OA=OC,
∴PE=
1
2
AC


(3)如(1)中的图,作斜边AC的中线BO,
∵等腰直角三角形ABC,AB=BC=4,
∴OB=OC=OA=2
2

∵AP=1,
∴OP=2
2
-1,
∵Rt△BOP≌Rt△PDE,
∵ED⊥AC,
∴∠EDC=∠OBC=OBA∠=45°,
∴△DCE为等腰直角三角形,
∴PE=OB=2
2
,DE=CE=OP=2
2
-1

∵S四边形PBDE=S△BPO+S△BOC-S△CDE
=
2
2
(2
2
-1)
2
+
2
2
2
2
-
(2
2
-1)
2
2

=
3
2

故答案为:PE=
1
2
AC
3
2
点评:本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的面积公式等知识点,关键在于根据题意推出△OPB和△EDP全等及相关边的长度.
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