Question

【题目】图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点为边的中点．分别在图、图中的边上确定点并作出直线，使与相似．

要求：（1）图、图中的点位置不同．

（2）只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹．

Answer 1

【答案】答案见解析

【解析】

（1）找到格点N、M，连接NM交AB于点P，过P点和D点作直线PD，P点即为所求，理由是：找到格点Q，连接NQ交AB于点T，连接TP，根据三角形相似的判定和性质，得到PT和AP的长，根据勾股定理和中点的性质，计算AD的长，再根据相似三角形的判定方法即可解决.

（2）找到格点K、L，连接KL与AB变动边的交点即为所求P点，理由为：根据三角形全等的判定和性质，证明P点为AB边的中点，然后根据中位线的意义和性质，结合三角形相似的判定方法，即可得出△APD∽△ABC；

解：（1）如图：找到格点N、M，连接NM交AB于点P，过P点和D点作直线PD，此时△APD∽△ACB.理由如下：

找到格点N、M、Q，连接NM交AB于点P，连接NQ交AB于点T，连接TP，由图可知，∠NTP=∠NQM，∠QNM=∠TNP，

∴△TNP∽△QNM，

∴，

∴，

∴，

∵，

D为AC的中点，

∴，

，

，

在△APD和△ACB中，

∠DAP=∠BAC，

，

∴△APD∽△ACB.

（2）如图：找到格点K，L，连接KL，交AB于点P，过P点和D点作直线PD，此时△ABC∽△APD.理由如下：

找到格点W、G，连接WG，KW，GL，由图可知，KW∥GL，

∴∠KPW=∠LPG，∠KWP=∠LGP，

又∵KW=LG，

∴△KWG≌LGP，

∴WP=GP，

∴P为WG的中点，

∵AW+WP=BG+GP，

∴AP=BP，

∴P为AB的中点，

∵D点为AC的中点，

∴PD为△ABC的中位线，

∴PD∥BC，

∴△APD∽△ABC.