Question

已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点P在BC边上（P不与B、C重合）或点P在△ABC内部，连接CP、BP，将CP绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE；将BP绕点B顺时针旋转90°，得到线段BD，连接ED交AB于点O．
（1）如图a，当点P在BC边上时，求证：OA=OB；
（2）如图b，当点P在△ABC内部时，
①OA=OB是否成立？请说明理由；
②直接写出∠BPC为多少度时，AB=DE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）根据△ABC为等腰直角三角形，则CA=CB，∠A=∠ABC=45°，由旋转可知：CP=CE，BP=BD，则AE=BP，可证明△AEO≌△BDO，则OA=OB；
（2）①连接AE，易证△AEC≌△BCP，则AE=BP，∠CAE=∠BPC，可证明△AEO≌△BDO，则OA=OB，所以成立；
②设∠PCB=α，∠PBC=β，则四边形BCED的四个内角可以分别用α、β表示，利用四边形内角和为360°求出α+β的度数，最后在△BPC中，利用三角形内角和定理求出∠BPC的度数．

解答：（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴CA=CB，∠A=∠ABC=45°，
由旋转可知：CP=CE，BP=BD，
∴CA-CE=CB-CP，
即AE=BP，
∴AE=BD．
又∵∠CBD=90°，∴∠OBD=45°，
在△AEO和△BDO中，

∠AOE=∠BOD ∠A=∠OBD=45° AE=BD

，
∴△AEO≌△BDO（AAS），
∴OA=OB；

（2）成立，理由如下：
连接AE，则△AEC≌△BCP，
∴AE=BP，∠CAE=∠BPC，
∵BP=BD，
∴BD=AE，
∵∠OAE=45°+∠CAE，∠OBD=90°-∠OBP=90°-（45°-∠BPC）=45°+∠PBC，
∴∠OAE=∠OBD，
在△AEO和△BDO中，

∠AOE=∠BOD ∠OAE=∠OBD AE=BD

，
∴△AEO≌△BDO（AAS），
∴OA=OB，
②当∠BPC=135°时，AB=DE．理由如下：
解法一：
当AB=DE时，由①知OA=OB，∴OA=OB=OE=OD．
设∠PCB=α，由旋转可知，∠ACE=α．
连接OC，则OC=OA=OB，∴OC=OE，
∴∠DEC=∠OCE=45°+α．
设∠PBC=β，则∠ABP=45°-β，∠OBD=90°-∠ABP=45°+β．
∵OB=OD，∴∠D=∠OBD=45°+β．
在四边形BCED中，∠DEC+∠D+∠DBC+∠BCE=360°，
即：（45°+α）+（45°+β）+（90°+β）+（90°+α）=360°，
解得：α+β=45°，
∴∠BPC=180°-（α+β）=135°．
解法二（本溪赵老师提供，更为简洁）：
当AB=DE时，四边形AEBD为矩形
则∠DBE=90°=∠DBP，
∴点P落在线段BE上．
∵△ECP为等腰直角三角形，
∴∠EPC=45°，
∴∠BPC=180°-∠EPC=135°．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形，是重点题，要熟练掌握．