Question

3．如图，已知抛物线y=x²-（2m+1）x+m²+m-2与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，P（s，t）为抛物线上A、B之间一点（不包括A、B），连接AP、BP分别交y轴于点E、D
（1）若m=-1，求A、B两点的坐标；
（2）若s=1，求ED的长度；
（3）若∠BAP=∠ODP，求t的值．

Answer 1

分析 （1）把m=-1代入抛物线的解析式，令y=0解方程即可解决问题；
（2）利用待定系数法求出直线PA、PB的解析式，求出点E、D的坐标即可解决问题；
（3）由△PAQ∽△BPQ，可得$\frac{PQ}{BQ}$=$\frac{AQ}{PQ}$，推出PQ²=AQ•BQ，即t²=（s-x_A）（x_B-s），推出s•（2m+1）-s²-（m-1）（m+2）=t²，又t=s²-（2m+1）s+（m-1）（m+2），推出t²=-t，解得t=-1或0（舍弃），由此即可解决问题；

解答 解：（1）当m=-1时，抛物线的解析式为y=x²+x-2，
令y=0，可得x²+x-2=0，
解得x=-2或1
∴A（-2，0）、B（1，0）．

（2）∵y=[x-（m+2）][x-（m-1）]
∴A（m-1，0）、B（m+2，0）
∵s=1
∴P（1，m²-m-2）
∴直线AP的解析式为y=-（m+1）x+m²-1，
直线BP的解析式为y=-（m-2）x+m²-4，
∴E（0，m²-1），D（0，m²-4），
∴DE=m²-1-（m²-4）=3．

（3）过点P作PQ⊥x轴于Q
∵∠BAP=∠ODP
∴∠DPE=∠AOE=90°，
∴∠APB=∠AQP=∠PQB=90°，
∵∠PAB+∠APQ=90°，∠PAB+∠PBQ=90°，
∴∠APQ=∠PBQ，
∴△PAQ∽△BPQ，
∴$\frac{PQ}{BQ}$=$\frac{AQ}{PQ}$，
∴PQ²=AQ•BQ，
∴t²=（s-x_A）（x_B-s）
∴s（x_A+x_B）-s²-x_Ax_B=t²
∴s•（2m+1）-s²-（m-1）（m+2）=t²
∵t=s²-（2m+1）s+（m-1）（m+2）
∴t²=-t，解得t=-1或0（舍弃），
∴t=-1时，∠BAP=∠ODP．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．