【题目】若一个三位数满足条件:其百位数字与十位数字之和为个位数字,则称这样的三位数为“吉祥数”,将“吉祥数”m的百位数字与个位数字交换位置,交换后所得的新数叫做m的“如意数”.如156是一个“吉祥数”,651是156的“如意数”.在吉祥数中当|x﹣y|=0或1时,称其为“和谐吉祥数”.
(1)个位数字为6的“和谐吉祥数”是 ,个位数字为9的“和谐吉祥数”是 .
(2)证明:任意一个“吉祥数”与其“如意数”之差都能被11整除;
(3)已知m为“吉祥数”,n是m的“如意数”,若m与n的和能被8整除,求m.
【答案】(1)336;459或549;(2)见解析;(3)m的值为167或246或325或404或729或808.
【解析】
(1)首先应根据题目中所给的“和谐吉祥数”的概念,将它们表示出来即可;
(2)由于[100(x+y)+10y+x]﹣(100x+10y+x+y)=101x+110y﹣101x﹣11y=99y=9×11y,依此即可得到任意一个“吉祥数”与其“如意数”之差都能被11整除;
(3)首先应根据题意表示出m、n,又因为m与n的和能被8整除.因此根据它们的范围一一验证即可求出最终m的值.
解:(1)因为3+3=6,|3-3|=0,所以个位数字为6的“和谐吉祥数”是 336,
因为4+5=9,|5-4|=1,所以个位数字为9的“和谐吉祥数”是 459或549.
故答案为:336;459或549;
(2)证明:设吉祥数的百位为x,十位为y,则个位为x+y,则这个吉祥数为:100x+10y+x+y,它对应的如意数为100(x+y)+10y+x.
∵[100(x+y)+10y+x]﹣(100x+10y+x+y)=101x+110y﹣101x﹣11y=99y=9×11y,
∴任意一个“吉祥数”与其“如意数”之差都能被11整除;
(3)设吉祥数的百位为x,十位为y,则个位为x+y,则这个吉祥数为:100x+10y+x+y,它对应的如意数为100(x+y)+10y+x.
∵m+n=(100x+10y+x+y)+[100(x+y)+10y+x]=101x+11y+101x+110y=202x+121y=200x+120y+2x+y,
∴m与n的和能被8整除,则2x+y要能被8整除
∴x=1,y=6时,m+n=928,m=167;
x=2,y=4时,m+n=888,m=246;
x=3,y=2时,m+n=848,m=325;
x=4,y=0时,m+n=808,m=404;
x=5,y=6时,x+y=11(不合题意舍去);
x=6,y=4时,x+y=10(不合题意舍去);
x=7,y=2时,m+n=1656,m=729;
x=8,y=0时,m+n=1616,m=808;
x=9,y=6时,x+y=15(不合题意舍去);
故m的值为167或246或325或404或729或808.
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【题目】如图,已知,等腰Rt△OAB中,∠AOB=90°,等腰Rt△EOF中,∠EOF=90°,连结AE、BF.
求证:(1)AE=BF;(2)AE⊥BF.
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【题目】A、B两地相距60km,甲从A地去B地,乙从B地去A地,图中l1、l2分别表示甲、乙两人离B地的距离y(km)与甲出发时间x(h)的函数关系图象.
(1)根据图象,直接写出乙的行驶速度;
(2)解释交点A的实际意义;
(3)甲出发多少时间,两人之间的距离恰好相距5km;
(4)若用y3(km)表示甲乙两人之间的距离,请在坐标系中画出y3(km)关于时间x(h)的函数关系图象,注明关键点的数据.
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【题目】如图,小华同学想测量学校逸夫楼的高度,他站在B点从A处仰望楼顶D,测得仰角为30°,再往逸夫楼的方向前进14米从E处望楼顶,测得仰角为60°,已知小华同学身高(AB)为1.6米,则逸夫楼CD的高度的为( )(≈1.73)
A.12.1米B.13.7米C.11.5米D.13.5米
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【题目】已知直线l1:y1=x+3经过点A(m,5),与y轴的交点为B;直线l2:y2=kx+b经过点A和C(2,﹣1).
(1)求直线l2的解析式,并直接写出不等式y1≥y2的解集;
(2)求△AOB的面积.
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【题目】如图,反比例函数y=的图象经过点(﹣1,﹣2),点A是该图象第一象限分支上的动点,连结AO并延长交另一分支于点B,以AB为斜边作等腰直角三角形ABC,顶点C在第四象限,AC与x轴交于点D,当时,则点C的坐标为______.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A,B两点,与x轴交于点C,与y轴交于点D,点B的坐标是(m,﹣4),连接AO,AO=5,sin∠AOC=.
(1)求反比例函数的解析式
(2)连接OB,求△AOB的面积
(3) 根据图象直接写出当时,x的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线M:y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(﹣1,0),且顶点坐标为B(0,1).
(1)求抛物线M的函数表达式;
(2)设F(t,0)为x轴正半轴上一点,将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M1.
①抛物线M1的顶点B1的坐标为 ;
②当抛物线M1与线段AB有公共点时,结合函数的图象,求t的取值范围.
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