【题目】如图所示,∠A0B=420,点P为∠A0B内一点,分别作出P点关于OA、OB的对称点P1,P2,连接P1P2交OA于M,交OB于N,P1P2=15,则△PMN的周长为________,∠MPN ________.
【答案】15 96°
【解析】
P点关于OA的对称是点P1,P点关于OB的对称点P2,故有PM=P1M,PN=P2N.由此即可得到△PMN的周长.根据四边形内角和为360°,可得出∠P1PP2的度数,根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得出∠PNM+∠PMN的度数,再根据三角形内角和定理即可得出∠MPN的度数.
∵P点关于OA的对称是点P1,P点关于OB的对称点P2,∴PM=P1M,PN=P2N,PP2⊥OB,PP1⊥OA,∴△PMN的周长为PM+PN+MN=MN+P1M+P2N=P1P2=15,∠P1PP2=360°-90°-90°-42°=138°,∠P2=∠NPP2,∠P1=∠P1PM,∴∠PNM=2∠P2,∠PMN=2∠P1,∴∠PNM+∠PMN=2∠P1+2∠P2=2(180°-∠P1PP2)=84°,∴∠MPN=180°-(∠PNM+∠PMN)=180°-84°=96°.
故答案为:15,96°.
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【题目】如图,ABCD的顶点A、B、D均在⊙O上,请仅用无刻度的直尺按要求作图.
(1)AB边经过圆心O,在图(1)中作一条与AD边平行的直径;
(2)AB边不经过圆心O,DC与⊙O相切于点D,在图(2)中作一条与AD边平行的弦.
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【题目】制作一种产品,需先将材料加热达到60 ℃后,再进行操作.设该材料温度为y(℃),从加热开始计算的时间为x(min).据了解,当该材料加热时,温度y与时间x成一次函数关系;停止加热进行操作时,温度y与时间x成反比例关系(如图).已知该材料在操作加热前的温度为15 ℃,加热5分钟后温度达到60 ℃.
(1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时,y与x的函数关系式;
(2)根据工艺要求,当材料的温度低于15 ℃时,须停止操作,那么从开始加热到停止操作,共经历了多少时间?
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【题目】如图,在矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=6,将△ABC沿AC折叠,使点B落在点E处,CE交AD于点F,则DF的长等于( )
A. B. C. D.
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【题目】如图1,以边长为8的正方形纸片ABCD的边AB为直径作⊙O,交对角线AC于点E.
(1)线段AE=;
(2)如图2,以点A为端点作∠DAM=30°,交CD于点M,沿AM将四边形ABCM剪掉,使Rt△ADM绕点A逆时针旋转(如图3),设旋转角为α(0°<α<150°),旋转过程中AD与⊙O交于点F.
①当α=30°时,请求出线段AF的长;
②当α=60°时,求出线段AF的长;判断此时DM与⊙O的位置关系,并说明理由;
③当α= 时,DM与⊙O相切.
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【题目】如图,直线AB,CD 相交于点O,∠AOD=3∠BOD+20°.
(1)求∠BOD的度数;
(2)以O为端点引射线OE,OF ,射线OE平分∠BOD,且∠EOF= 90°,求∠BOF的度数.
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【题目】如图.△ABC中,∠C=2∠B,D是BC上一点,且AD⊥AB,点E是BD的中点,连结AE.
(1)求证:BD=2AC;
(2)若AE=6.5,AD=5,那么△ABE的周长是多少?
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