Question

1．如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0）、B（-4，0）两点，与y轴交于点C（0，-2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为抛物线上一动点，且在第三象限，过点P作PE垂直x轴交于点E，是否存在这样的点P，使得以点P，E，A为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若直线BD交抛物线于点D，且tan∠DBA=$\frac{3}{4}$，作一条平行于X轴的直线交抛物线于G、H两点，若以GH为直径的圆与直线BD相切，求此圆的半径．

Answer 1

分析 （1）设抛物线为y=a（x-1）（x+4），然后将（0，-2）代入解析式中，即可求出a的值；
（2）设点P的横坐标为a，以点P，E，A为顶点的三角形与△AOC相似时，有两种情况，一是$\frac{PE}{AE}$=$\frac{OA}{OC}$，二是$\frac{PE}{AE}$=$\frac{OC}{OA}$，分别列出关于a的方程即可求出a的值；
（3）直线BD与以GH为直径的圆相切有两种情况，一是该圆在直线BD的上方，二是该圆在直线BD的下方，设该圆的圆心为M，由题意知点M一定在抛物线的对称轴上，所以点M到直线BD的距离等于$\frac{1}{2}$BC．

解答 解：（1）抛物线经过A（1，0）和B（-4，0），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x+4），
把C（0，-2）代入y=a（x-1）（x+4），
∴a=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-1）（x+4）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2；

（2）设P（a，$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a-2），其中a＜-4，
∴PE=$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a-2，
AE=1-a，
若以点P，E，A为顶点的三角形与△AOC相似，
则PA与AC时对应边，
当$\frac{PE}{AE}$=$\frac{OA}{OC}$时，
∴$\frac{\frac{1}{2}{a}^{2}+\frac{3}{2}a-2}{1-a}=\frac{1}{2}$，
∴a=-5或a=1
∵a＜-4，
∴a=-5，
此时P的坐标为（-5，3），
当$\frac{PE}{AE}$=$\frac{OC}{OA}$时，
∴$\frac{\frac{1}{2}{a}^{2}+\frac{3}{2}a-2}{1-a}=2$，
∴a=-8或a=1，
∵a＜-4，
∴a=-8，
∴P的坐标为（-8，18），
综上所述，点P的坐标为P（-5，3）或（-8，18）；

（3）∵tan∠DBA=$\frac{3}{4}$，
∴cos∠DBA=$\frac{4}{5}$，
设以GH为直径的圆的圆心为M，
过点M作MN⊥BD于点N，
抛物线的对称轴与BD交于点E，与x轴交于点F，
∵GH∥x轴，且G、H在抛物线上，
∴由抛物线的对称性可知：点M在抛物线的对称轴上，
设M（$-\frac{3}{2}$，b），G（x₁，b），H（x₂，b），
把y=b代入y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2，
∴x²+3x-4-2b=0，
∴x₁+x₂=-3，x₁x₂=-4-2b，
∴GH²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=25+8b，
∵MN=$\frac{1}{2}$GH，
∴MN²=$\frac{1}{4}$GH²=$\frac{25+8b}{4}$，
∵AB=5，
∴BF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
∵tan∠DBA=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{EF}{BF}$=$\frac{3}{4}$，
∴EF=$\frac{15}{8}$，
∴E（$-\frac{3}{2}$，$\frac{15}{8}$），
当M在直线BD下方时，此时b＜$\frac{15}{8}$，如图1，
∴ME=$\frac{15}{8}$-b，
∵∠DBA+∠BEF=90°，
∠NME+∠BEF=90°，
∴∠DBA=∠NME，
∴cos∠DBA=cos∠NME=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{MN}{ME}=\frac{4}{5}$，
∴MN²=$\frac{16}{25}$ME²=$\frac{16}{25}$（$\frac{15}{8}$-b）²，
∴$\frac{25+8b}{4}$=$\frac{16}{25}$（$\frac{15}{8}$-b）²，
∴8b²-55b-50=0，
∴b=$\frac{55±5\sqrt{185}}{16}$，
∵b＜$\frac{15}{8}$，
∴b=$\frac{55-5\sqrt{185}}{16}$，
∴此圆的半径为：MN=$\frac{4}{5}$（$\frac{15}{8}$-b）=$\frac{\sqrt{185}-5}{4}$，
当M在直线BD上方时，此时b＞$\frac{15}{8}$，如图2，
∴ME=b-$\frac{15}{8}$，
∵∠MEN+∠EMN=90°，
∠BEF+∠DBA=90°，
∠EMN=∠BEF，
∴∠EMN=∠DBA，
∴cos∠EMN=cos∠DBA=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{MN}{ME}=\frac{4}{5}$，
∴MN²=$\frac{16}{25}$ME²=$\frac{16}{25}$（$\frac{15}{8}$-b）²，
∴$\frac{25+8b}{4}$=$\frac{16}{25}$（$\frac{15}{8}$-b）²，
∴8b²-55b-50=0，
∴b=$\frac{55±5\sqrt{185}}{16}$，
∵b＞$\frac{15}{8}$，
∴b=$\frac{55+5\sqrt{185}}{16}$，
∴此圆的半径为：MN=$\frac{4}{5}$（b-$\frac{15}{8}$）=$\frac{5+\sqrt{185}}{4}$
综上所述，此圆的半径为：$\frac{5+\sqrt{185}}{4}$或$\frac{\sqrt{185}-5}{4}$．

点评 本题考查二次函数的综合问题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数，解本题的关键（3）确定出点E的坐标．