Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，F在AC上，且BD=DF．
（1）试说明：CF=EB．
（2）若AE=6，CD=4，试求四边形AFDB的面积．

Answer 1

分析：（1）根据AD平分∠BAC，得出DC=DE，又有BD=DF，得△CDF≌△DEB，从而得出CF=EB．
（2）设BE=x，根据勾股定理用x的代数式表示出BD，又有AE=AC=6，CD=DE=4，利用△BDE∽△BAC得到的比例线段来求出BE、BD的长，进而求出四边形的面积．

解答：解：（1）∵AD平分∠BAC
又∵DE⊥AB，DC⊥AC
∴DC=DE
又∵DF=BD
∴△CDF≌△DEB（HL）
∴CF=EB；

（2）∵DC=DE，AD=AD
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL）
∴AC=AE=6
又有CD=DE=4
设BE=x，则BD=

x2+16

在△BED与△BCA中
∠B=∠B，∠BED=∠BCA
∴△BED∽△BCA
∴

BE

BC

=

BD

AB

∴

x

4+ x2+16

=

x2+16

6+x

解得：x=9.6或x=0（不合题意，舍去）
∴BE=9.6，BD=10.4
四边形AFDB的面积=

1

2

•AC•BC-

1

2

×CF•CD=

1

2

×6×（10.4+4）-

1

2

×9.6×4=24．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定及其性质、相似三角形的判定及其性质、三角形的面积计算公式．