Question

如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．
（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；
（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O₁、A₁、C₁、B₁，得到如图2的梯形O₁A₁B₁C₁．设梯形O₁A₁B₁C₁的面积为S，A₁、B₁的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．用含S的代数式表示x₂-x₁，并求出当S=36时点A₁的坐标；
（3）在图1中，设点D坐标为（1，3），动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了O、A、B的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可得到其对称轴方程和顶点M的坐标．
（2）在两条直线平移的过程中，梯形的上下底发生了改变，但是梯形的高没有变化，仍为3，即y₂-y₁=3，可根据抛物线的解析式，用x₁、x₂表示出y₁、y₂，然后联立y₂-y₁=3，可得到第一个关于x₁、x₂的关系式①；在两条直线平移过程中，抛物线的对称轴没有变化，可用x₁、x₂以及抛物线的对称轴解析式表示出梯形上下底的长，进而可得到梯形面积的表达式，这样可得到另外一个x₁、x₂的关系式②，联立两个关系式，即可得到关于（x₂-x₁）与S的关系式③，将S=36代入②③的关系式中，即可列方程组求得x₁、x₂的值，进而可求出A点的坐标．
（3）要解答此题，首先要弄清几个关键点：
一、当PQ∥AB时，设直线AB与抛物线对称轴的交点为E，可得△DPQ∽△DBE，可用t表示出DP、DQ的长，而E点坐标易求得，根据相似三角形所得比例线段，即可得到此时t的值即t=

15

7

；
二、当P、Q都停止运动时，显然BC＞DM，所以此时t=DM÷1=3

1

8

；
可分两种情况讨论：
①当0＜t＜

15

7

时，设直线PQ与直线AB的交点为F，与x轴的交点为G；由题意知△FQE∽△FAG，得∠FGA=∠FEQ，由于BC∥x轴，则∠DPQ=∠FGA=∠FEQ，由此可证得△DPQ∽△DEB，DB、DE的长已求得，可用t表示出DP、DQ的长，根据相似三角形所得比例线段，即可求得此时t的值；
②当

15

7

＜t＜3

1

8

时，方法同①；
在求得t的值后，还要根据各自的取值范围将不合题意的解舍去．

解答：解：（1）对称轴：直线x=1，
解析式：y=

1

8

x²-

1

4

x，
顶点坐标：M（1，-

1

8

）．

（2）由题意得y₂-y₁=3，y₂-y₁=

1

8

x

2 2

-

1

4

x2-

1

8

x

2 1

+

1

4

x1=3，
得：（x₂-x₁）[

1

8

（x₂+x₁）-

1

4

]=3①，
s=

2(x1-1+x2-1)×3

2

=3（x₁+x₂）-6，
得：x₁+x₂=

s

3

+2②，
把②代入①并整理得：x₂-x₁=

72

s

（S＞0），
当s=36时，

x2+x1=14 x2-x1=2

，
解得：

x1=6 x2=8

，
把x₁=6代入抛物线解析式得y₁=3，
∴点A₁（6，3）．

（3）存在
易知直线AB的解析式为y=

3

4

x-

3

2

，可得直线AB与对称轴的交点E的坐标为（1，-

3

4

），
∴BD=5，DE=

15

4

，DP=5-t，DQ=t，
当PQ∥AB时，

DQ

DE

=

DP

DB

，

t

15 4

=

5-t

5

，
得t=

15

7

，
下面分两种情况讨论：设直线PQ与直线AB、x轴的交点分别为点F、G；
①当0＜t＜

15

7

时，如图1-1；
∵△FQE∽△FAG，∴∠FGA=∠FEQ，
∴∠DPQ=∠DEB；易得△DPQ∽△DEB，
∴

DQ

DB

=

DP

DE

，
∴

t

5

=

5-t

15 4

，
得t=

20

7

＞

15

7

，
∴t=

20

7

（舍去）；
②当

15

7

＜t＜3

1

8

时，如图1-2；
∵△FQE∽△FAG，
∴∠FAG=∠FQE，
∵∠DQP=∠FQE，∠FAG=∠EBD，
∴∠DQP=∠DBE，易得△DPQ∽△DEB，
∴

DQ

DB

=

DP

DE

，
∴

t

5

=

5-t

15 4

，
∴t=

20

7

；
∴当t=

20

7

秒时，使直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似．

点评：本题是二次函数的综合类试题，涉及到：二次函数解析式的确定、等腰梯形的性质、图形面积的求法、相似三角形的判定和性质等重要知识；在（3）题中能够正确的画出图形，并准确的找到所求的三角形是解答此题的关键．