Question

（2001•南京）以长为2cm的定线段AB为边，作正方形ABCD，取AB的中点P．在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M落在AD上，如图所示．
（1）试求AM、DM的长；
（2）点M是线段AD的黄金分割点吗？请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求AM的长，即是求AF的长，只需求得PF的长，根据勾股定理进行计算PD的长就可；要求DM的长，只需AD-AM就可；
（2）根据黄金分割点的定义，只需证明AM²=AD•DM．
解答：解：（1）在Rt△APD中，AP=1，AD=2，
由勾股定理知PD===，
∴AM=AF=PF-AP=PD-AP=-1，
DM=AD-AM=3-；

（2）∵AM²=（）²=6-2，
AD•DM=2×（3-）=6-2，
∴AM²=AD•DM，
所以点M是线段AD的黄金分割点．
点评：能够根据已知条件结合勾股定理求得线段的长，能够用黄金分割点的定义进行证明．