Question

12．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，DE⊥BC，交AB边于E，DF⊥AC于F，BE=CD，BD=CF．
（1）△ABC是等腰三角形吗？请说明理由；
（2）连结EF，当∠A=60度时，△DEF是等边三角形．

Answer 1

分析 （1）证明Rt△BDE≌Rt△CFD，得到∠B=∠C，利用等角对等边即可解答；
（2）根据Rt△BDE≌Rt△CFD，得到DE=DF，当∠EDF=60°时，△DEF是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），再分别求出∠DFC，∠C，利用三角形的内角和为180°，即可解答．

解答 解：（1）∵DE⊥BC，DF⊥AC于F，
∴∠BDE=90°，∠DFC=90°，
在Rt△BDE和Rt△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CD}\\{BD=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDE≌Rt△CFD，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
（2）如图，

∵Rt△BDE≌Rt△CFD，
∴DE=DF，
当∠EDF=60°时，△DEF是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴∠CDF=90°-∠EDF=30°，
∴∠C=90°-∠DFC=60°，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=60°．
故答案为：60．

点评 本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明Rt△BDE≌Rt△CFD．