Question

13．如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E在CD边上，且CE=2DE，将△ADE沿直线AE对折至△AEF，延长EF交BC于G，连接AG，则线段AG的长为$\frac{{3\sqrt{5}}}{2}$．

Answer 1

分析 先根据正方形的性质可得AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，再根据折叠的性质可得AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，再证明△ABG≌△AFG可得FG=GB，然后设BG=x，则CG=12-x，GE=x+4，再利用勾股定理算出x的值，进而运用勾股定理可得到AG的长．

解答 解：在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，
∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AG}\\{AB=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△AFG（HL），
∴FG=GB，
∵CE=2DE，AB=3，
∴DE=1，CE=2，
设BG=x，则CG=3-x，GE=x+1，
∵GE²=CG²+CE²
∴（x+1）²=（3-x）²+2²，
解得x=$\frac{3}{2}$，
∴BG=$\frac{3}{2}$，
∴Rt△ABG中，AG=$\sqrt{A{B}^{2}+B{G}^{2}}$=$\frac{{3\sqrt{5}}}{2}$，
故答案为：$\frac{{3\sqrt{5}}}{2}$．

点评 此题主要考查了翻折变换，正方形的性质以及勾股定理的运用，解题的关键是证明△ABG≌△AFG得到FG=GB，再利用勾股定理计算出BG的长．