Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求∠P的度数；
（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，AB=4，求线段BM、CM及弧BC所围成的图形面积．

Answer 1

（1）根据圆的基本性质可得∠A=∠ACO，根据圆周角定理可得∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，即可证得∠A=∠ACO=∠PCB，再结合AB是⊙O的直径即可作出判断；（2）30°；（3）π+1

试题分析：（1）根据圆的基本性质可得∠A=∠ACO，根据圆周角定理可得∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，即可证得∠A=∠ACO=∠PCB，再结合AB是⊙O的直径即可作出判断；
（2）由PC=AC可得∠A=∠P，即有∠A=∠ACO=∠P，再根据三角形的内角和定理求解即可；
（3）由点M是半圆O的中点，可得CM是∠ACB的角平分线，即得∠BCM=45°，由（2）知∠BMC=∠A=∠P=30°，根据含30°的直角三角形的性质可得BC==2，作BD⊥CM于D，可得CD=BD=BC=，则可得DM的长，从而可得CM的长，再根据扇形的面积公式及三角形的面积公式求解即可.
（1）∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO
∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB
∴∠A=∠ACO=∠PCB
∵AB是⊙O的直径   
∴∠ACO+∠OCB=90°
∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP
∵OC是⊙O的半径  
∴PC是⊙O的切线；
（2）∵PC=AC，
∴∠A=∠P   
∴∠A=∠ACO=∠P
∵∠A+∠ACO+∠PCO+∠P=180°  
∴3∠P=90°
∴∠P=30°；
（3）∵点M是半圆O的中点，
∴CM是∠ACB的角平分线，
∴∠BCM=45°
由（2）知∠BMC=∠A=∠P=30°，
∴BC==2
作BD⊥CM于D，

∴CD=BD=BC=，
∴DM=BD=
∴CM=+，
∴S_△BCM=CM•BD=+1
∵∠BOC=2∠A=60°
∴弓形BmC的面积=π－ 
∴线段BM、CM及弧BC所围成的图形面积为π+1．
点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.