Question

某课题组在探究“泵站问题”时抽象出数学模型：
直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．
请利用上述模型解决下列问题：
（1）几何应用：如图1，等腰直角三角形ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为

 

；
（2）几何拓展：如图2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN的值最小，求这个最小值；
（3）代数应用：求代数式

x2+1

+

(4-x)2+4

（0≤x≤4）的最小值．

Answer 1

分析：（1）本题要在AC上找一点P，使PB+PE的值最小．设点B关于AC的对称点为B′，使PB+PE的值最小就是使PB′+PE的值最小．
（2）设点B关于AC的对称点为B′，根据垂线段最短及两点之间，线段最短可知当B′、M、N三点共线且B′N⊥AB时BM+MN的值最小．
（3）根据两点间距离公式，可知本题即求点P（x，0）（0≤x≤4）到点A（0，1）和点B（4，2）的距离之和的最小值，在平面直角坐标系中画出图形，即可求解．

解答：解：（1）作点B关于AC的对称点B′，连接B′E交AC于P，此时PB+PE的值最小，连接AB′．

∵∠B′AC=∠BAC=45°，∴∠B′AB=90°．
又∵AB′=AB=

AC2+BC2

=

22+22

=2

2

，AE=

1

2

AB=

2

，
∴PB+PE的最小值=B′E=

B′A2+AE2

=

(2 2 )2+( 2 )2

=

10

．

（2）作点B关于AC的对称点B′，过B′作B′N⊥AB于N，交AC于M．
此时BM+MN的值最小．BM+MN=B′N．
理由：如图1，在AC上任取一点M₁（不与点M重合），
在AB上任取一点N₁，连接B′M₁、BM₁、M₁N₁、B′N₁．

∵点B′与点B关于AC对称，
∴BM₁=B′M₁，
∴BM₁+M₁N₁=B′M₁+M₁N₁＞B′N₁．
又∵B′N₁＞B′N，BM+MN=B′N，
∴BM₁+M₁N₁＞BM+MN．
计算：如图2

∵点B′与点B关于AC对称，
∴AB′=AB，
又∵∠BAC=30°，
∴∠B′AB=60°，
∴△B′AB是等边三角形．
∴B′B=AB=2，∠B′BN=60°．
又∵B′N⊥AB，
∴B′N=B′B•sin60°=

3

．

（3）构造图形如图所示：

在直角坐标系中，设点A（0，1）、B（4，2）、P（x，0）（0≤x≤4）．
那么PA+PB=

x2+1

+

(4-x)2+4

．
所求

x2+1

+

(4-x)2+4

的最小值就是求PA+PB的最小值．
作点A关于x轴的对称点A′，过A′作y轴的垂线，过点Bx轴的垂线，两垂线交于点C．
则A′C=4，BC=3，A′B=

A′C2+BC2

=

42+32

=5．
所求

x2+1

+

(4-x)2+4

的最小值是5．

点评：此题主要考查轴对称--最短路线问题．解这类问题的关键是将实际问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段．