Question

【题目】如图， 的对角线交于点平分交于点,交于点，且，连接．下列结论:①;②;③:④其中正确的结论有__________(填写所有正确结论的序号)

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

由四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=60°，EC平分∠DCB，得△ECB是等边三角形，结合AB=2BC，得∠ACB=90°，进而得∠CAB=30°，即可判断①；由∠OCF＜∠DAO，∠OFC＞∠ADO，即可判断②；易证△OEF∽△BCF，得OF=OB，进而得S△AOD=S△BOC=3S△OCF，即可判断③；设OF=a，得DF=4a，BF=2a，即可判断④．

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，OD=OB，OA=OC，
∴∠DCB+∠ABC=180°，
∵∠ABC=60°，
∴∠DCB=120°，
∵EC平分∠DCB，
∴∠ECB=∠DCB=60°，
∴∠EBC=∠BCE=∠CEB=60°，
∴△ECB是等边三角形，
∴EB=BC= EC，
∵AB=2BC，
∴EA=EB=EC，
∴∠ACB=90°，

∴∠CAB=30°，即：，

故①正确；

∵AD∥BC，

∴∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO，

∵∠OCF＜∠BCO，∠OFC＞∠CBO，

∴∠OCF＜∠DAO，∠OFC＞∠ADO，

∴错误，

故②错误；
∵OA=OC，EA=EB，
∴OE∥BC，
∴△OEF∽△BCF，

∴，
∴OF=OB，
∴S△AOD=S△BOC=3S△OCF，

故③正确；
设OF=a，

∵OF=OB，

∴OB=OD=3a，

∴DF=4a，BF=2a，
∴BF2=OFDF，

故④正确；
故答案为：①③④．